角度与弧度：换算、圆弧与计算单位

同一个角可以用度或弧度表示。一周为 360°，也等于 $2\pi\,\mathrm{rad}$；换单位只改变数值和单位，不改变角本身。

两个换算方向

设 $d$ 为以度为单位时的数值，$r$ 为以弧度为单位时的数值，即 $\theta=d\,{}^\circ=r\,\mathrm{rad}$，则：

$$r=d\frac{\pi}{180},\qquad d=r\frac{180}{\pi}.$$

这里的 $d$、$r$ 是数值。例如 90° 对应 $r=\pi/2$，最终带单位写为 $\pi/2\,\mathrm{rad}$。不要把数值换算式和带单位的角量混在一起重复乘单位。

度	弧度
0°	$0\,\mathrm{rad}$
30°	$\pi/6\,\mathrm{rad}$
45°	$\pi/4\,\mathrm{rad}$
60°	$\pi/3\,\mathrm{rad}$
90°	$\pi/2\,\mathrm{rad}$
180°	$\pi\,\mathrm{rad}$
360°	$2\pi\,\mathrm{rad}$

负角和超过一周的角也按同样公式换算：$-45^\circ=-\pi/4\,\mathrm{rad}$，$450^\circ=5\pi/2\,\mathrm{rad}$。换算与把角归一化到一周内是两项不同操作。

弧度与圆弧

半径为 $R>0$ 的圆上，圆弧长度为 $s$ 时，其圆心角的弧度数为 $r=s/R$。因此使用弧度数时可以直接写 $s=Rr$；若手中是度数，先换成弧度数再代入。

例如半径 2 m、圆心角 60°，有 $r=\pi/3$，弧长为 $s=2\pi/3\,\mathrm m\approx2.094\,\mathrm m$。把 60 直接代入 $s=Rr$ 会得到错误结果。

程序与工程计算中的检查

使用三角函数前先查接口采用的角单位。以弧度为输入的函数计算 30° 的正弦时，应传入 $\pi/6$，结果为 0.5；不能直接传入数值 30。计算器的 DEG/RAD 模式也应与输入一致。

角频率还多了时间维度：$\omega=2\pi f$ 中，$f$ 的单位为 Hz，$\omega$ 的单位为 rad/s。角度、频率和角频率不能互换，具体波形约定见正弦稳态交流电路。

BIPM《国际单位制手册》第九版，2026 年 6 月 V4.01的表 8 给出 $1^\circ=(\pi/180)\,\mathrm{rad}$；以上数值换算和例题由这一关系得到。