振动基础：运动量、幅值、共振与隔振

振动是物体相对于参考位置的往复变化。健康机器也会振动，振动存在本身并不能证明故障。先确定参考系、测量方向、物理量和频带，再谈振动有多大。

1. 三种分类回答不同问题

分类	定义	不能混淆的情况
自由／受迫	初始条件引起的响应／外部持续激励引起的响应	无阻尼自由振动可以不衰减；受迫激励也可以是随机或瞬态
线性／非线性	是否满足叠加关系	非线性不是与自由、受迫并列的第三类
周期／非周期	是否存在重复周期	一段看起来重复的记录未必证明长期周期性
稳态／瞬态	统计或波形特征是否随观察时间改变	启停机记录不能直接套用稳态评价条件

2. 从位移推导速度和加速度

取单频位移 $x(t)=X\sin(\omega t+\phi)$，其中 $X$ 是位移峰值，$\omega=2\pi f$，$f$ 的单位是 Hz。对时间求导：

$$v(t)=\frac{dx}{dt}=\omega X\cos(\omega t+\phi), \qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=-\omega^2X\sin(\omega t+\phi).$$

因此同一个正弦分量的峰值满足：

$$V=2\pi fX,\qquad A=(2\pi f)^2X.$$

速度比位移超前 $90^\circ$，加速度比位移超前 $180^\circ$。这些关系要对同一频率、同一幅值定义使用，不能拿一个宽带 RMS 除以随意选的频率就得到另一个量的 RMS。

例：$f=10\,\mathrm{Hz}$、$X=10\,\mu\mathrm m=10^{-5}\,\mathrm m$：

$$V=0.6283\,\mathrm{mm/s},\qquad A=0.03948\,\mathrm{m/s^2}.$$

频率提高十倍而位移峰值不变，速度变为十倍，加速度变为一百倍。因此量的选择与目标频带相关，但传感器的实际低、高频能力仍由具体型号和安装决定。

频域积分为 $V(f)=A(f)/(j2\pi f)$、$X(f)=A(f)/(j2\pi f)^2$。当 $f\to0$，除数趋零，偏置和低频噪声被强烈放大；必须声明去趋势、高通和积分频带。直流加速度不能用这个公式恢复静态位移。完整推导见滤波、采集与振动应用。

3. RMS、峰值和峰峰值的定义

对 $N$ 个等间隔样本 $q_n$：

$$\bar q=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}q_n,\quad q_{\rm RMS}=\sqrt{\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}q_n^2},\quad q_{\rm peak}=\max_n|q_n|,\quad q_{\rm pp}=\max_nq_n-\min_nq_n.$$

用分母 $N$ 定义总体标准差 $\sigma$，展开平方可得：

$$\sigma^2=\frac1N\sum(q_n-\bar q)^2 =\frac1N\sum q_n^2-\bar q^2, \qquad q_{\rm RMS}^2=\sigma^2+\bar q^2.$$

所以 RMS 和标准差只在零均值时相等。去均值后的 RMS 应标为交流分量 RMS，不能悄悄当成包含直流的总 RMS。采样峰值还可能低于连续波形的真实峰值。

对整周期零均值正弦 $q(t)=Q\sin(\omega t)$，利用 $\sin^2\theta=(1-\cos2\theta)/2$：

$$q_{\rm RMS}^2=\frac1T\int_0^TQ^2\sin^2(\omega t)\,dt =\frac{Q^2}{2},\qquad q_{\rm RMS}=\frac Q{\sqrt2},\qquad q_{\rm pp}=2Q.$$

冲击、调制、直流偏置或非整周期记录不能直接套用 $\sqrt2$ 与 2 的换算。

波形形状指标

设 $m_1=N^{-1}\sum|q_n|$，$\mu_k=N^{-1}\sum(q_n-\bar q)^k$：

指标	定义	使用条件
峰值因子	$q_{\rm peak}/q_{\rm RMS}$	分母非零；对偏置是否去除保持一致
脉冲因子	$q_{\rm peak}/m_1$	不要误写为峰值因子
波形因子	$q_{\rm RMS}/m_1$	反映整体形状，不直接定位故障
偏度	$\mu_3/\sigma^3$	$\sigma>0$；描述不对称性
峭度	$\mu_4/\sigma^4$	这里为 Pearson 定义，正态分布理论值为 3

有些软件输出“超额峭度”$\mu_4/\sigma^4-3$，正态基线是 0。比较软件结果前先确认定义、样本偏差校正和预处理；常量记录的偏度、峭度未定义。

图中为无量纲教学信号 $\sin(2\pi10t)+0.5\sin(2\pi100t)$。两分量在整周期记录上正交，交叉项平均为零，故 RMS 为 $\sqrt{(1^2+0.5^2)/2}=0.79057$。这张图没有现场标定，不能据此作机械验收。

4. 从运动方程理解共振

把质量 $m$、刚度 $k$、黏性阻尼 $c$ 的单自由度系统写为：

$$m\ddot x+c\dot x+kx=F_0\cos\omega t.$$

设稳态位移为复数形式 $x(t)=\operatorname{Re}\{\hat X e^{j\omega t}\}$，代入导数 $\dot x\leftrightarrow j\omega\hat X$、$\ddot x\leftrightarrow-\omega^2\hat X$：

$$(k-m\omega^2+jc\omega)\hat X=F_0, \qquad \hat X=\frac{F_0}{k-m\omega^2+jc\omega}.$$

定义无阻尼固有角频率 $\omega_n=\sqrt{k/m}$、阻尼比 $\zeta=c/(2\sqrt{km})$、频比 $r=\omega/\omega_n$，取模得：

$$\frac{|\hat X|}{F_0/k} =\frac1{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.$$

振幅不仅由激励力决定，还受结构传递特性影响。线性黏性模型中，位移放大倍数的峰值在 $r=\sqrt{1-2\zeta^2}$（$\zeta<1/\sqrt2$），并非总在精确的 $r=1$。多自由度设备有多个模态，不能用一个质量和刚度代替全部结构。

无外力且欠阻尼时，自由响应含 $e^{-\zeta\omega_nt}\sin(\omega_dt+\phi)$，其中 $\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$。当 $c=0$，指数衰减消失，说明“自由振动一定衰减”不是普遍定义。

5. 隔振为什么可能反而放大振动

上述力激励模型中，传到基础的力为 $F_T=kx+c\dot x$。其幅值与激励幅值之比：

$$T_F=\frac{|F_T|}{F_0} =\frac{\sqrt{1+(2\zeta r)^2}} {\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.$$

在这一模型下，令 $T_F<1$ 并两边平方，得到 $1<(1-r^2)^2$，对 $r>0$ 即 $r>\sqrt2$。因此隔振器需要足够低的固有频率；靠近共振区时可能放大传递。阻尼能降低共振峰，但高频隔振效果也受其影响。

弹簧主要储存和释放能量，阻尼元件消耗能量。柔软、阻尼大、隔振好不是同一句话。实际还要检查静挠度、允许行程、稳定性、支撑方向和启停穿越共振，不可只根据稳态频比选择支撑。

6. 从特征走向诊断

转速 $n$（r/min）对应转频 $f_r=n/60$（Hz）。阶次是频率与转频之比 $o=f/f_r$。例如 1X 表示一个转频，而不是固定的某个 Hz。

相位必须注明参考测点、转速参考、方向和频率。同频两路信号的相位可以辅助识别运动关系，但单个 1X 或 2X 峰无法唯一证明不平衡或不对中。继续阅读测量到诊断的完整流程。