信号积分中的低频噪声

根因

频域积分相当于除以 $j2\pi f$：

$$V(f)=\frac{A(f)}{j2\pi f},\qquad D(f)=\frac{A(f)}{(j2\pi f)^2}$$

当 $f\to0$ 时，增益趋于无穷。很小的 DC 偏置、传感器倾斜、温漂和低频噪声经过一次积分会显著放大，经过两次积分更严重。问题通常不是“FFT 算错”，而是数据在低频没有足够的物理信息支持积分。

flowchart LR
  A["偏置/趋势/低频噪声"] --> B["一次积分 1/f"] --> C["速度漂移"] --> D["二次积分 1/f²"] --> E["位移严重漂移"]

处理流程

1. 先看原始数据：检查削顶、跳变、丢样、传感器安装和静态偏置。
2. 校准单位：确认输入是 m/s²、g 还是电压，灵敏度与量程是否正确。
3. 去均值或去趋势：只有在 DC 不属于目标信息时才删除；线性趋势也应有物理理由。
4. 定义可信最低频率：根据传感器响应、记录时长和任务确定，而不是为了让曲线好看任意选择。
5. 设计高通或带通：在积分前抑制不可信低频，记录截止频率、阶数和相位特性。
6. 执行积分：实时系统使用有状态因果滤波；离线系统可选择频域积分或数值积分。
7. 验证：用已知正弦、参考传感器或可计算位移验证幅值和相位。

正弦量的换算

对角频率 $\omega=2\pi f$ 的稳态正弦：

$$V_{peak}=\frac{A_{peak}}{\omega},\qquad D_{peak}=\frac{A_{peak}}{\omega^2}$$

例如同样的加速度幅值，1 Hz 对应的位移是 10 Hz 的 100 倍。这是物理关系，不应全部当成算法误差滤掉。

方法对比

方法	优点	主要风险
频域除以 $j2\pi f$	频带控制直观	DC 奇点、边界和窗效应
累加/梯形积分	易于流式实现	偏置持续累积、初始条件敏感
高通积分器	可限制低频增益	截止频率改变真实低频响应
状态空间/传感器融合	可利用模型和多传感器	依赖模型、噪声参数和校准

不要这样做

• 把 $f=0$ 替换为任意极小数后直接积分。
• 只在积分后“拉直曲线”，却不记录处理过程。
• 使用极高阶高通而不检查瞬态、稳定性和相位。
• 在传感器低频响应之外声称绝对位移精度。
• 用单次看起来合理的结果代替校准源验证。