伯德图与奈奎斯特图：频响、方向与稳定判据

知识概念更新于 2026-10-03编辑本文

伯德图（Bode plot，也译波特图）和奈奎斯特图（Nyquist plot）描述同一个复频率响应的不同方面。先选对要画的传递函数，再决定图形：看滤波、增益和相位随频率如何变化，用伯德图；分析反馈闭环稳定性时，要把环路传递函数的奈奎斯特曲线与开环不稳定极点数一起考虑。

两种图分别显示什么

对实系数连续时间系统 $G(s)$ ，在 $G(j\omega)$ 存在的频率处定义

M(\omega)=20\log_{10}\lvert G(j\omega)\rvert,\qquad \phi(\omega)=\arg G(j\omega).

幅值使用 $20\log_{10}$ ，适用于这里的幅值比；相位可以用度或弧度，但必须标注。若输入、输出物理量不同，分贝幅值还隐含了所采用的单位/参考尺度，不能不加说明地解释成无量纲功率增益。零响应处的相位没有定义。

图形	横轴	纵轴	常见用途
伯德幅频图	对数频率	幅值，常为 dB	滚降、共振峰、截止频率、增益交越
伯德相频图	对数频率	相位，常为度	相位滞后、相位交越及补偿设计
奈奎斯特图	$\operatorname{Re}G(j\omega)$	$\operatorname{Im}G(j\omega)$	在复平面检查轨迹及对临界点的绕行

奈奎斯特图常用实部—虚部直角坐标轴。复数当然也能用模和辐角描述，但不能因此把这种常见绘图坐标称为“极坐标轴”。频率是沿曲线变化的参数，需要箭头、标签或交互读数辅助识别。

频率换算为 $\omega=2\pi f$ 。SciPy 连续系统的 bode、freqresp 接收 rad/s，不是 Hz。对数横轴不能包含零频率，直流响应应单独求值。

用同一个二阶系统对照

原笔记使用

G(s)=\frac{1}{s^2+2s+1}=\frac{1}{(s+1)^2}.

因此

G(j\omega)=\frac{1-\omega^2-j2\omega}{(1+\omega^2)^2},\quad \lvert G(j\omega)\rvert=\frac{1}{1+\omega^2},\quad \phi=-2\arctan\omega\quad(\omega\geq0).

角频率	复响应	幅值	相位
$0$	$1$	0 dB	$0^\circ$
$1$ rad/s	$-j/2$	约 $-6.0206$ dB	$-90^\circ$
趋于无穷	趋于原点	趋于 $-\infty$ dB	趋于 $-180^\circ$

两个重合极点使高频幅频斜率趋于 $-40$ dB/decade。该系统半功率频率约为 $0.6436$ rad/s，不能把极点尺度 $1$ rad/s 直接当作 $-3$ dB 截止频率。

原笔记的二阶系统伯德图：角频率为0.01至100 rad/s

上图保留原图，用于观察幅值下降和相位趋近 $-180^\circ$ 。它显示的最低频率是 0.01 rad/s，不含精确的直流点。

原笔记的二阶系统复平面响应：正频率曲线及其镜像

上图保留原轨迹示例，但没有频率方向箭头，也没有完整展示临界点 $-1$ 。只凭这幅有限频段截图不能完成奈奎斯特稳定性论证。

奈奎斯特稳定判据：先声明绕行方向

对负反馈环路，令 $L(s)$ 为环路传递函数，闭环特征条件为 $1+L(s)=0$ 。以下约定适用于无虚轴开环极点、闭环也不落在虚轴上的常见有理情形，并要求不存在被忽略的不稳定内部相消：

$P$ ： $L(s)$ 在右半平面的极点数，按重数计。
$Z$ ： $1+L(s)$ 在右半平面的零点数，即该特征方程对应的不稳定闭环极点数。
$N_{\rm CCW}$ ：完整奈奎斯特曲线对 $-1$ 点的净逆时针绕行次数，逆时针记正。

采用包围右半平面的顺时针 $s$ 平面轮廓，则

Z=P-N_{\rm CCW}.

闭环稳定需要 $Z=0$ ，即 $N_{\rm CCW}=P$ 。若教材把顺时针绕行记正，公式会变为 $Z=P+N_{\rm CW}$ ；符号约定必须成套使用。尤其当 $P>0$ 时，“不包围 $-1$ ”反而不满足闭环稳定条件。

对本页例子 $L(s)=1/(s+1)^2$ ， $P=0$ ，完整轨迹不绕行 $-1$ 。单位负反馈后

T(s)=\frac{L}{1+L}=\frac{1}{s^2+2s+2},

闭环极点为 $-1\pm j$ ，与判据一致。另一个简单校验是 $L(s)=2/(s-1)$ ：开环有一个不稳定极点，但完整曲线逆时针绕 $-1$ 一次，闭环 $T(s)=2/(s+1)$ 稳定。这说明开环极点数是必要信息。

曲线穿过 $-1$ 时对应边界情况，不能继续按“严格稳定”计数。开环有积分器等虚轴极点时，必须采用绕避极点的修正轮廓。严格真有理系统的无穷远弧映到原点；其他系统应单独分析闭合部分，不能机械补一条直线。

对实系数系统， $G(-j\omega)=\overline{G(j\omega)}$ ，所以负频率支路可由共轭得到。完整轮廓沿虚轴的频率方向是 $-\infty\to0\to+\infty$ ；镜像支路的遍历方向需要反转。实系数条件不成立时，应直接计算负频率响应。

补充示例图：负频率和正频率的遍历箭头、直流点及临界点-1

这张补充图由下文代码实际生成，标出了原图缺少的方向和临界点；它仍是有限频段的解析模型图。

完整 Python 示例

下面保留原来的 NumPy、SciPy、Matplotlib 工作流，同时补上直流点、两个支路的方向、 $-1$ 标记及数值自检。分子、分母系数按 $s$ 的降幂排列。程序生成 bode-example.png 和 nyquist-example.png。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

system = signal.TransferFunction([1.0], [1.0, 2.0, 1.0])
w = np.logspace(-3, 3, 1200)  # rad/s；对数轴不放零
_, magnitude_db, phase_deg = signal.bode(system, w=w)

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(8, 6), sharex=True)
axes[0].semilogx(w, magnitude_db)
axes[0].set_ylabel("Magnitude (dB)")
axes[1].semilogx(w, phase_deg)
axes[1].set_ylabel("Phase (deg)")
axes[1].set_xlabel("Angular frequency (rad/s)")
for ax in axes:
    ax.grid(True, which="both", alpha=0.3)
fig.suptitle("G(s) = 1 / (s + 1)^2")
fig.tight_layout()
fig.savefig("bode-example.png", dpi=160)
plt.close(fig)

wp = np.r_[0.0, w]
_, hp = signal.freqresp(system, w=wp)  # 正频率 0 -> w_max
hn = np.conj(hp[::-1])  # 实系数系统：负频率 -w_max -> 0

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
ax.plot(hn.real, hn.imag, "--", label="Negative frequency -> 0")
ax.plot(hp.real, hp.imag, label="Positive frequency -> +infinity")
ax.plot(-1.0, 0.0, "rx", markersize=9, label="Critical point -1")
ax.plot([1.0, 0.0], [0.0, 0.0], "ko", markersize=3)

# 两支路均按数组顺序放箭头；它们在直流点相接。
kp = int(np.argmin(np.abs(wp - 0.5)))
kn = len(hp) - 1 - kp
for curve, k in ((hp, kp), (hn, kn)):
    ax.annotate("", xy=(curve[k + 18].real, curve[k + 18].imag),
                xytext=(curve[k].real, curve[k].imag),
                arrowprops={"arrowstyle": "->", "color": "black"})
ax.axhline(0, color="gray", linewidth=0.6)
ax.axvline(0, color="gray", linewidth=0.6)
ax.set(xlabel="Real", ylabel="Imaginary", xlim=(-1.25, 1.2))
ax.set_aspect("equal", adjustable="box")
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.legend(fontsize=8)
fig.tight_layout()
fig.savefig("nyquist-example.png", dpi=160)
plt.close(fig)

_, check = signal.freqresp(system, w=[0.0, 1.0])
assert np.allclose(check, [1.0 + 0j, -0.5j])
assert np.isclose(20 * np.log10(abs(check[1])), -6.0205999133)
closed_loop_poles = np.roots([1.0, 2.0, 2.0])
assert np.all(closed_loop_poles.real < 0)
print("G(j*1) =", check[1], "; closed-loop poles =", closed_loop_poles)

这段代码画的是有限频率网格，曲线末端接近原点但不是数学上的无穷远；没有虚轴极点绕避处理，也不是通用奈奎斯特判稳程序。网格可能漏掉窄峰、快速相位变化或临界点附近的细节，应结合解析极点、频率加密和适用的控制分析工具检查。

伯德图怎样用于设计

若画的是稳定滤波器或某个测量通道，可以检查通带、带宽、共振与噪声放大。若要读反馈裕度，应画对应环路 $L$ ，并标明负反馈约定：

增益交越频率满足 $\lvert L(j\omega_{gc})\rvert=1$ ，在常见的单交越情形，相位裕度为 $180^\circ+\arg L(j\omega_{gc})$ ，相位需按一致分支展开。
相位交越处满足相位为 $-180^\circ$ 模 $360^\circ$ ，增益裕度因子为 $1/\lvert L(j\omega_{pc})\rvert$ ，对应 dB 为 $-20\log_{10}\lvert L(j\omega_{pc})\rvert$ 。
多个交越、开环不稳定、时延或特殊环路结构，需要检查全部相关交越及奈奎斯特条件。仅看到一个正相位裕度不能据此宣布任意系统稳定。

本页例子的幅值在任何正频率都小于 1，且相位只在无穷频率趋近 $-180^\circ$ ，没有常见的有限正频率交越点。不要为了套公式，硬把 $1$ rad/s 当作增益交越频率。

资料与修订说明

本页完整保留了原始笔记的两类图、两个绘图流程及两幅原图；合并重复代码后补充了单位、方向、临界点和稳定判据的条件。两幅原图的字节未修改，示例运行只验证模型和绘图，不代表实测系统。

SciPy：signal.bode：连续系统幅频、相频输出和 rad/s 单位。
SciPy：signal.freqresp：复频率响应及参数约定。
华盛顿大学：Nyquist Stability Criterion 讲义：完整轮廓、绕行方向与右半平面计数。
MathWorks：稳定裕度：环路增益、交越和稳定裕度的使用边界。

基础模型见传递函数。