滤波

RC 低通滤波器

理想电源通过串联电阻驱动对地电容，输出取电容两端。下图保留原笔记的电路示意；以下模型假设输出无额外负载，元件理想。

输入为 $x(t)$，电容电压为 $y(t)$。电阻压降是 $x-y$，电流：

$$i(t)=\frac{x(t)-y(t)}R=C\frac{dy(t)}{dt}.$$

因此：

$$RCy'(t)+y(t)=x(t).$$

零初始状态下，传递函数：

$$H(s)=\frac1{1+sRC}.$$

物理充放电过程可参考 OpenStax RC 电路；从电位差到反变换的中间步骤见完整 RC 推导。

正弦稳态与阻抗分压

电容阻抗为 $Z_C=1/(j\omega C)$，利用分压：

$$H(j\omega)=\frac{Z_C}{R+Z_C} =\frac1{1+j\omega RC}.$$

低频时 $|Z_C|\gg R$，输出电压主要在电容两端，幅值接近输入；高频时 $|Z_C|\ll R$，电容输出较小，电阻承担较大的压降。

$$|H(j\omega)|=\frac1{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}, \qquad \arg H(j\omega)=-\arctan(\omega RC).$$

输出相对输入滞后：低频趋近 $0^\circ$，截止处为 $-45^\circ$，极高频趋近 $-90^\circ$。达到正弦稳态之前还有启动暂态。

截止频率与衰减斜率

相对直流增益下降至 $1/\sqrt2$ 的频率：

$$\omega_c=\frac1{RC},\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}.$$

幅值 dB 为 $20\log_{10}|H|$，截止处约 -3.01 dB。高于截止频率很多时，幅值近似与频率成反比：

• 每增加十倍频率，渐近下降约 20 dB。
• 每增加一倍频率，渐近下降约 6.02 dB。

这些是高频渐近斜率，截止附近按准确幅值公式计算。原笔记将“每倍频程”写成 20 dB，并把低频电压主要落在电阻上，已在此修正。

实际连接与进一步阅读

输出接负载会改变模型；不能把多个空载 RC 模块的传递函数直接相乘而忽略负载效应。传感器、模拟滤波、ADC 和数字滤波还涉及不同时间基准。

继续阅读滤波与采集的推导笔记，其中展开了数字实现、群延迟、抽取与 CIC。