信号与系统 01：数学、信号、系统与卷积

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1. 函数不是“一个固定数”

$x(t)$ 表示“给定时刻 $t$，得到那个时刻的数值”。若电压满足 $x(t)=2t$ V，公式里的系数实际量纲为 V/s：

$$x(0)=0\ \mathrm V,\qquad x(0.5)=1\ \mathrm V,\qquad x(1)=2\ \mathrm V.$$

$x(t)$ 是整个变化规则，$x(1)$ 是这个规则在 1 s 处的取值。离散信号 $x[n]$ 也是规则，但 $n$ 只能取整数。均匀采样时：

$$t_n=nT_s,\qquad T_s=\frac1{f_s},\qquad x[n]=x_{\mathrm c}(nT_s).$$

例如 $f_s=1000$ Hz，$T_s=0.001$ s，第 3 个编号的采样时刻是 $t_3=0.003$ s。这里从编号 0 开始，因此“编号 3”是第 4 次记录。

连续时间不等于幅值必须连续。阶跃在连续时间轴上定义，但在启动时刻跳变。离散时间不等于已经数字量化：理论上的 $x[n]$ 仍可取任意实数，ADC 才会进一步将幅值编码为有限等级。

2. 导数是变化速度，积分是累积

某段时间的平均速度：

$$\frac{\Delta y}{\Delta t} =\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}.$$

时间间隔越来越小时，若极限存在：

$$y'(t)=\frac{dy}{dt} =\lim_{\Delta t\to0}\frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}.$$

若 $y$ 是电压，导数单位是 V/s；若 $y$ 是位移，导数是速度，单位 m/s。$dy/dt$ 在这里是一个整体记号。

电流定义为电荷的变化速度：

$$i(t)=\frac{dq(t)}{dt}.$$

把时间分成很多小段，第 $\ell$ 段电荷增量约为 $i(t_\ell)\Delta t$。将所有小段相加，再取极限：

$$q(t)-q(0)=\lim_{\Delta t\to0}\sum_\ell i(t_\ell)\Delta t =\int_0^t i(\xi)\,d\xi.$$

$\xi$ 是积分内的临时变量，不是新物理量。积分的单位为 A·s=C。若 $i=0.001$ A 持续 0.1 s，增加电荷 $0.0001$ C。

两条后面会用到的公式

乘积求导：

$$(uv)'=u'v+uv'.$$

对两边积分，把最后一项移过去：

$$\int u v'\,dt=uv-\int u'v\,dt.$$

这就是分部积分，它解释拉普拉斯中的导数规则。对 $e^{at}$：

$$\frac{d}{dt}e^{at}=ae^{at},\qquad \int e^{at}\,dt=\frac{e^{at}}a+\text{常数},\quad a\ne0.$$

3. 正弦中的幅值、频率与相位

统一采用余弦表示：

$$x(t)=A\cos(\omega t+\phi),\qquad \omega=2\pi f,\qquad T=\frac1f.$$

$A$ 是峰值，$f$ 是每秒周期数，$\phi$ 是在 $t=0$ 的相位角。弧度与角度换算为 $2\pi$ rad=$360^\circ$。

延迟 $t_d>0$：

$$\begin{aligned} y(t)&=x(t-t_d)\\ &=A\cos\bigl(\omega(t-t_d)+\phi\bigr)\\ &=A\cos(\omega t+\phi-\omega t_d). \end{aligned}$$

因此“输出相对输入”的相位差为 $-\omega t_d$。延迟四分之一周期得到 $-90^\circ$；相位按 $360^\circ$ 周期等价，测量时还要考虑相位展开。

离散正弦：

$$x[n]=A\cos(\Omega n+\phi),\qquad \Omega=\omega T_s=\frac{2\pi f}{f_s}.$$

$\omega$ 与 $\Omega$ 单位不同，不能直接把两者数字互换。

4. 复数为何能表示振荡

$j^2=-1$，复数 $a+jb$ 可以看作平面上的横坐标 $a$、纵坐标 $b$。模与角度：

$$|a+jb|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \arg(a+jb)=\operatorname{atan2}(b,a).$$

用指数函数、正弦、余弦的幂级数，将奇偶幂分开：

$$\begin{aligned} e^{j\theta} &=1+j\theta+\frac{(j\theta)^2}{2!}+\frac{(j\theta)^3}{3!}+\cdots\\ &=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right) +j\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right)\\ &=\cos\theta+j\sin\theta. \end{aligned}$$

这给出欧拉公式，以及：

$$\cos\theta=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}2,\qquad \sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}.$$

复指数同时组织两路正交振荡，真实电压可取实部。它是计算工具，真实测量不要求产生“虚数电压”。

5. 求和与几何级数

$\sum_{n=0}^{2}x[n]$ 是 $x[0]+x[1]+x[2]$ 的简写。令：

$$S_N=1+q+q^2+\cdots+q^{N-1}.$$

乘以 $q$ 并相减：

$$qS_N=q+q^2+\cdots+q^N,$$ $$S_N-qS_N=1-q^N,\qquad S_N=\frac{1-q^N}{1-q},\quad q\ne1.$$

若 $|q|<1$，$N\to\infty$ 时 $q^N\to0$，于是：

$$\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac1{1-q}.$$

$q=1$ 时有限和为 $N$，不能代入含 $1-q$ 的分式。无限和的收敛条件不能删除；后面 Z 变换的收敛域就从这里来。

6. 阶跃与冲激

离散阶跃与离散冲激：

$$u[n]= \begin{cases}1,&n\ge0\\0,&n<0,\end{cases} \qquad \delta[n]= \begin{cases}1,&n=0\\0,&n\ne0.\end{cases}$$

因此 $\delta[n]=u[n]-u[n-1]$。

连续阶跃 $u(t)$ 在 $t<0$ 为 0，在 $t>0$ 为 1；单点取值通常不改变普通积分。连续冲激 $\delta(t)$ 是广义函数，由单位面积和抽样性质定义：

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1,\qquad \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)\,dt=f(t_0).$$

可以用宽 $\varepsilon$、高 $1/\varepsilon$ 的矩形脉冲理解其极限，但不能把 $\delta(t)$ 当作“在 0 处取一个普通有限值的函数”。连续单位冲激量纲为每秒，离散 $\delta[n]$ 无量纲。

7. 信号能量、平均功率与 RMS

对电压信号，数学信号能量定义为：

$$E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt \quad\text{或}\quad E_{\mathrm d}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2.$$

前者单位 V²·s，后者按上述定义是 V²；离散和若近似连续积分，还须乘 $T_s$。这里的“信号能量”不自动等于焦耳，电阻消耗能量还需除以电阻。

平均功率型量：

$$P=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,dt.$$

有限记录的均方根：

$$x_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x[n]^2}.$$

对零均值正弦，利用 $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$，在完整周期上第二项平均为零：

$$x_{\mathrm{RMS}}=\sqrt{\frac{A^2}{2}}=\frac{|A|}{\sqrt2}.$$

若 $x=d+A\cos\theta$，平方并取周期平均，交叉项为零：

$$x_{\mathrm{RMS}}^2=d^2+\frac{A^2}{2}.$$

所以含 DC 的总 RMS 与去均值后的交流 RMS 不同。

8. 系统性质逐项判断

系统 $\mathcal T$ 是输入到输出的规则，$y=\mathcal T\{x\}$。

线性：同时满足叠加与缩放，即：

$$\mathcal T\{a x_1+b x_2\}=a\mathcal T\{x_1\}+b\mathcal T\{x_2\}.$$

两点平均器满足此式；$y=x^2$ 不满足，因为 $(x_1+x_2)^2$ 多出 $2x_1x_2$；$y=x+1$ 也不线性，因为零输入输出非零。

时不变：若 $x[n]\to y[n]$，把输入改成 $x[n-n_0]$ 后，输出必须是 $y[n-n_0]$。例如 $y[n]=n x[n]$：

$$\mathcal T\{x[n-n_0]\}=n x[n-n_0],$$

而 $y[n-n_0]=(n-n_0)x[n-n_0]$，二者不同，所以时变。

因果：当前输出只依赖当前及过去输入。$x[n-1]$ 因果，$x[n+1]$ 需要未来输入；离线处理整段记录可以使用非因果方法。

无记忆：当前输出只依赖当前输入。$2x[n]$ 无记忆，两点平均器有记忆。

BIBO 稳定：任意有界输入，都产生有界输出。积分器输入常数 1 会得到不断增长的 $t$，所以不满足此定义。

线性微分方程在固定非零初始状态下，完整输入输出映射通常是仿射映射。用于卷积和传递函数的线性映射是零状态响应；初始状态引起的响应单独相加。

9. 从冲激分解推导离散卷积

任意序列都可写成：

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k].$$

固定 $n$ 时，只有 $k=n$ 那项冲激为 1，其余为 0，因此右侧确实等于 $x[n]$。

定义零状态系统对 $\delta[n]$ 的响应为 $h[n]$。时不变性说明 $\delta[n-k]$ 的响应是 $h[n-k]$；线性说明乘 $x[k]$ 后输出乘同一系数，再把所有输出相加：

$$\begin{aligned} y[n] &=\mathcal T\left\{\sum_k x[k]\delta[n-k]\right\}\\ &=\sum_k x[k]\mathcal T\{\delta[n-k]\}\\ &=\sum_k x[k]h[n-k]. \end{aligned}$$

这就是卷积：

$$\boxed{y[n]=(x*h)[n]=\sum_k x[k]h[n-k]}.$$

无限展开需要相应的收敛与连续性条件；本章有限序列例子可以直接交换求和。这个分解逻辑与 MIT 卷积讲次 一致。

手算两点平均器

规则 $y[n]=(x[n]+x[n-1])/2$。输入 $\delta[n]$ 得：

$$h[n]=\frac12\delta[n]+\frac12\delta[n-1].$$

输入 $[1,2,3]$，区间外为零：

$n$	当前输入	上一点	当前输出
0	1	0	0.5
1	2	1	1.5
2	3	2	2.5
3	0	3	1.5

冲激响应只有两项非零，卷积因此也化成这条递推规则。

10. 连续卷积与零状态/零输入

连续信号的冲激分解对应积分：

$$x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\xi)\delta(t-\xi)\,d\xi.$$

同样利用线性与时不变性：

$$\boxed{y_{\mathrm{zs}}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\xi)h(t-\xi)\,d\xi}.$$

因果系统、输入从 0 开始时，积分缩为 $0\le\xi\le t$。完整响应：

$$y(t)=y_{\mathrm{zs}}(t)+y_{\mathrm{zi}}(t).$$

“zs”表示零状态，由外部输入驱动；“zi”表示零输入，由原有电容电压等初始状态驱动。下一章会直接计算两部分。

对于普通函数型冲激响应：

$$|y(t)|\le \sup_\xi|x(\xi)|\int_{-\infty}^{\infty}|h(v)|\,dv.$$

若积分有限，就能用一个固定常数界定所有有界输入的输出。离散情形把积分换成 $\sum|h[n]|$。直接通路中的有限冲激项也可稳定，需要用广义函数对应的有限测度来理解，不能要求 $\delta(t)$ 是普通可积函数。

11. 本章练习与答案

1. 2 V 峰值、无 DC 的正弦 RMS？答案 $2/\sqrt2\approx1.414$ V。
2. $[1,2,3]$ 先放大 2 再延迟 1 点？答案 $[0,2,4,6]$。
3. $y[n]=x[n]+x[n-2]$ 是否线性、时不变、因果、有记忆？四项依次为是、是、是、是。
4. 输入 $[1,1]$、冲激响应 $[1,2]$ 的卷积？逐点为 $[1,3,2]$。
5. 100 Hz 正弦延迟 1 ms 的相位？$-2\pi100\times0.001=-0.2\pi$ rad，即 $-36^\circ$。

复习时先说出物理含义，再写公式；对所有涉及时间、频率和电压的结果检查单位。