相机成像坐标系：从世界点到像素

三套坐标分别表示什么

坐标	记号	意义
世界坐标	$P_w=(X_w,Y_w,Z_w)^T$	描述场景几何，原点由任务选择
相机坐标	$P_c=(X_c,Y_c,Z_c)^T$	以相机光心为参考，本文 z 轴朝前
像素坐标	$(u,v)$	图像中的横、纵位置，单位为像素

本文采用常见相机投影约定：相机 x 向右、y 向下、z 向前。其他机器人或图形库可能不同，必须显式转换，不靠字母名称推断。

第一步：外参变换

定义 $R_{cw}$ 和 $t_{cw}$ 将世界坐标变到相机坐标：

$$P_c=R_{cw}P_w+t_{cw}.$$

R 是旋转矩阵，满足 $R^TR=I$、$\det R=1$；t 与三维点使用相同长度单位。相机在世界中的位置不是一般意义上的 t，而是：

$$C_w=-R_{cw}^{T}t_{cw},$$

因为把相机光心代入时 $P_c=0$。反向变换是 $P_w=R_{cw}^{T}(P_c-t_{cw})$。

第二步：透视除法

针孔模型利用相似三角形，先得到归一化成像坐标：

$$x_n=X_c/Z_c,\qquad y_n=Y_c/Z_c.$$

这里要求深度不为零；本文朝前约定下，可见的前方点通常满足 $Z_c>0$。不同深度但位于同一条光线上的点可投影到相同像素，所以单个像素不能唯一恢复三维位置。

第三步：内参变换

忽略像素轴斜切，内参矩阵为：

$$K=\begin{bmatrix}f_x&0&c_x\\0&f_y&c_y\\0&0&1\end{bmatrix},\qquad u=f_xx_n+c_x,\quad v=f_yy_n+c_y.$$

$f_x,f_y$ 以像素为单位，$(c_x,c_y)$ 是主点；主点并不必然等于图像几何中心。合并三步：

$$Z_c\begin{bmatrix}u\\v\\1\end{bmatrix} =K\,[R_{cw}\mid t_{cw}]\begin{bmatrix}P_w\\1\end{bmatrix}.$$

这个等式使用理想针孔模型。真实镜头还需要考虑径向/切向等畸变；应先约定输入点是否已去畸变，再使用投影公式。OpenCV 成像与标定模型

数值自检

相机点 $(1,0,5)$、$f_x=f_y=800$、主点 $(320,240)$，得到 $u=800/5+320=480$、$v=240$。长度同时从米改为毫米时，$X_c/Z_c$ 不变；混用单位则会使外参和点的位置不一致。