信号与系统 04：傅里叶分解、频率响应与采样

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1. “看频谱”究竟是在看什么

时域问“每个时刻是多少”，频域问“哪些振荡模式参与组成，各有多少幅度和相位”。例如：

$$x(t)=1+2\cos(2\pi10t)+0.5\cos(2\pi30t+\pi/4).$$

它含 1 的直流、10 Hz 的 2 峰值余弦、30 Hz 的 0.5 峰值余弦。频谱不是把横轴从时间直接改名成频率，而是对原信号进行分解计算。

连续时间/离散时间描述时间轴，周期/非周期描述重复性，连续频率/离散频率描述表示方式，三组概念要分开判断。

2. 周期信号为什么用整数倍频率

若周期是 $T_0$，基频 $f_0=1/T_0$、$\omega_0=2\pi/T_0$。复指数 $e^{jk\omega_0t}$ 满足：

$$e^{jk\omega_0(t+T_0)} =e^{jk\omega_0t}e^{jk2\pi} =e^{jk\omega_0t},\qquad k\in\mathbb Z.$$

所以所有整数次谐波都与基本周期相容。傅里叶级数的合成式：

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{jk\omega_0t}.$$

$k=0$ 给直流，$k$ 与 $-k$ 的一对项可组合成真实正弦。

3. 从正交性推导系数公式

先算两个模式的比较积分：

$$I_{km}=\int_0^{T_0}e^{jk\omega_0t}e^{-jm\omega_0t}\,dt =\int_0^{T_0}e^{j(k-m)\omega_0t}\,dt.$$

$k=m$ 时被积函数为 1，积分 $T_0$。$k\ne m$ 时：

$$I_{km}= \frac{e^{j(k-m)\omega_0T_0}-1}{j(k-m)\omega_0} =\frac{e^{j(k-m)2\pi}-1}{j(k-m)\omega_0}=0.$$

把合成式乘 $e^{-jm\omega_0t}$，在一个周期积分：

$$\int_0^{T_0}x(t)e^{-jm\omega_0t}\,dt =\sum_k c_k I_{km}=c_mT_0.$$

因此：

$$\boxed{c_m=\frac1{T_0}\int_0^{T_0}x(t)e^{-jm\omega_0t}\,dt}.$$

“乘一个反向振荡，再积分”让其他整数谐波正负抵消，只留下目标模式。公式里的 $1/T_0$ 来自正交积分的长度，而不是随意加的归一化。

对通常的分段光滑周期函数，级数在连续点恢复函数，在跳变点恢复左右极限平均。跳变附近会有 Gibbs 现象；有限项逼近不能消除跳变附近的过冲。这些收敛问题可对照 MIT 傅里叶级数讲次。

4. 正弦与方波的系数

对 $A\cos(\omega_0t+\phi)$，利用欧拉公式：

$$A\cos(\omega_0t+\phi) =\frac A2e^{j\phi}e^{j\omega_0t} +\frac A2e^{-j\phi}e^{-j\omega_0t}.$$

所以 $c_1=(A/2)e^{j\phi}$、$c_{-1}=(A/2)e^{-j\phi}$。双边每边只有峰值的一半，两边合起来才构成真实正弦。

对周期为 $2\pi$、正半周期为 1、负半周期为 -1 的奇对称方波，正弦系数：

$$b_k=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x(\theta)\sin(k\theta)\,d\theta.$$

因为 $x$ 与 $\sin$ 都是奇函数，乘积为偶函数：

$$\begin{aligned} b_k&=\frac2\pi\int_0^\pi\sin(k\theta)\,d\theta\\ &=\frac2{\pi k}[1-\cos(k\pi)]\\ &=\frac2{\pi k}[1-(-1)^k]. \end{aligned}$$

偶数 $k$ 为 0，奇数 $k$ 为 $4/(\pi k)$：

$$x(\theta)=\frac4\pi \left(\sin\theta+\frac13\sin3\theta+\frac15\sin5\theta+\cdots\right)$$

在跳变点取平均值 0。理想无限周期方波有离散谐波谱线。实际记录只有有限时长，截断后谱线会被窗函数展宽，这是另一个问题。

5. 连续时间傅里叶变换 CTFT

非周期信号可以用连续频率的复指数合成。采用角频率约定：

$$\boxed{X_{\mathrm c}(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt},$$ $$\boxed{x(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X_{\mathrm c}(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega}.$$

使用 Hz 时则是：

$$X_f(f)=\int x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt,\qquad x(t)=\int X_f(f)e^{j2\pi ft}\,df.$$

因为 $d\omega=2\pi\,df$，两个约定的系数彼此一致。

若 $\int|x(t)|dt<\infty$，正变换积分绝对收敛；更一般的有限能量信号可在均方意义下处理。常数、理想无限正弦等不满足普通绝对积分条件，要用广义函数频谱或傅里叶级数解释。

手算宽度为 $T$ 的矩形脉冲

令 $x(t)=A$ 在 $|t|<T/2$，区间外为 0：

$$\begin{aligned} X_{\mathrm c}(j\omega) &=A\int_{-T/2}^{T/2}e^{-j\omega t}\,dt\\ &=A\frac{e^{-j\omega T/2}-e^{j\omega T/2}}{-j\omega}\\ &=\frac{2A\sin(\omega T/2)}{\omega}\\ &=AT\,\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega T}{2\pi}\right). \end{aligned}$$

本书定义归一化 $\operatorname{sinc}(v)=\sin(\pi v)/(\pi v)$，在 $v=0$ 用极限定义为 1。零频值 $AT$ 就是脉冲面积，单位为信号单位乘秒。

脉冲越短，主瓣越宽：第一零点 $|\omega|=2\pi/T$。时间局部化与频率展宽由这个例子直接看到。

6. 傅里叶变换为何能恢复信号

形式上把正变换代回逆变换：

$$\begin{aligned} \frac1{2\pi}\int X_{\mathrm c}(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega &=\int x(\xi) \left[\frac1{2\pi}\int e^{j\omega(t-\xi)}\,d\omega\right]d\xi\\ &=\int x(\xi)\delta(t-\xi)\,d\xi\\ &=x(t). \end{aligned}$$

中括号是广义函数意义的冲激，不是一个普通收敛的无限积分。这个推导解释合成/分析的对应关系；严格交换极限和积分需在适当函数空间或分布框架中进行。

对于周期信号：

$$X_{\mathrm c}(j\omega)=2\pi\sum_kc_k\delta(\omega-k\omega_0).$$

它将傅里叶级数的离散谱线嵌入连续频率轴。不能据“横轴连续”判断谱一定是一条连续曲线。

7. 频率响应和卷积定理

连续 LTI 系统对 $x(t)=e^{j\omega t}$ 的响应：

$$\begin{aligned} y(t) &=\int h(\xi)e^{j\omega(t-\xi)}\,d\xi\\ &=e^{j\omega t}\int h(\xi)e^{-j\omega\xi}\,d\xi\\ &=H(j\omega)e^{j\omega t}. \end{aligned}$$

复指数是系统的特征函数。正弦稳态的幅度乘 $|H|$、相位加 $\arg H$ 就来自这一步。要求相应积分存在；对因果稳定系统可采用普通频响。

对一般输入，卷积 $y=h*x$ 变换后为 $Y=HX$，推导与拉普拉斯中的交换积分相同。时域相乘则对应频域卷积：

$$\begin{aligned} \mathcal F\{x(t)w(t)\} &=\int x(t)\left[\frac1{2\pi}\int W(j\nu)e^{j\nu t}\,d\nu\right]e^{-j\omega t}\,dt\\ &=\frac1{2\pi}\int W(j\nu)X(j(\omega-\nu))\,d\nu. \end{aligned}$$

这就是有限记录和加窗会展宽频谱的理论连接。

8. 离散时间傅里叶变换 DTFT

定义：

$$\boxed{X_{\mathrm d}(e^{j\Omega}) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega n}}.$$

因为整数 $n$ 满足 $e^{-j2\pi n}=1$：

$$X_{\mathrm d}(e^{j(\Omega+2\pi)})=X_{\mathrm d}(e^{j\Omega}).$$

所以 DTFT 在离散角频率上以 $2\pi$ 为周期。逆变换只需一个周期：

$$x[n]=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_{\mathrm d}(e^{j\Omega})e^{j\Omega n}\,d\Omega.$$

代入正变换，内部积分为：

$$\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{j(n-m)\Omega}\,d\Omega =\begin{cases}1,&n=m\\0,&n\ne m.\end{cases}$$

正交性因此逐点恢复序列。若序列绝对可和，正变换普通收敛；持续正弦要按广义频谱处理。

Z 变换在 $z=e^{j\Omega}$ 时变成 DTFT，前提是单位圆在 ROC 中。$[1,2,3]$ 的 DTFT 是 $1+2e^{-j\Omega}+3e^{-j2\Omega}$，频率变量连续，但输入只有三个非零点。

9. 两类频率如何连接

均匀采样 $x[n]=x(nT_s)$：

$$e^{j\omega t}\big|_{t=nT_s} =e^{j\omega T_sn}=e^{j\Omega n}.$$

所以：

$$\Omega=\omega T_s=\frac{2\pi f}{f_s}.$$

$\Omega$ 与 $\Omega+2\pi m$ 给出同样序列，也就是 $f$ 与 $f+mf_s$ 无法仅靠这些采样区分。

例：$f_s=1000$ Hz：

$$\cos(2\pi700n/1000) =\cos(2\pi n-2\pi300n/1000) =\cos(2\pi300n/1000).$$

700 Hz 与 300 Hz 的余弦采样相同。混叠是采样丢失了区分能力，事后数字滤波不能凭空恢复原来是哪一个。

10. 从冲激串推导采样频谱复制

用连续冲激串表示理想采样：

$$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s),$$ $$x_s(t)=x(t)p(t)=\sum_nx(nT_s)\delta(t-nT_s).$$

$p(t)$ 周期为 $T_s$，一个周期内单位冲激面积为 1，所以每个傅里叶级数系数是 $1/T_s$：

$$p(t)=\frac1{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{jk\omega_st}, \qquad \omega_s=2\pi/T_s.$$

其频谱：

$$P(j\omega)=\frac{2\pi}{T_s} \sum_k\delta(\omega-k\omega_s).$$

用乘法对应频域卷积：

$$\begin{aligned} X_s(j\omega) &=\frac1{2\pi}(X_{\mathrm c}*P)(j\omega)\\ &=\boxed{\frac1{T_s}\sum_kX_{\mathrm c}(j(\omega-k\omega_s))}. \end{aligned}$$

原频谱每隔 $\omega_s$ 被复制一次，并乘 $1/T_s$。这给出采样定理的频域图像，见 MIT 采样讲次。

11. 采样定理及其条件

假设连续信号严格限制在 $|f|\le B$ 的基带，均匀理想采样，频谱复制不重叠需要：

$$\boxed{f_s>2B}.$$

Nyquist 频率是 $f_s/2$；不要把它与采样率混称。等号处还涉及边界成分与相位，入门设计采用严格大于并留滤波过渡带。

例如 $f=f_s/2$ 的正弦：

$$\sin(2\pi fn/f_s)=\sin(\pi n)=0.$$

采到全零说明“恰好每周期两点”不保证能恢复任意相位信号。

实际信号很少严格带限，模拟抗混叠滤波器有有限衰减，需要按带外幅度和可接受误差留余量。采样前削顶、噪声、时间抖动和多通道不同时刻采样，也不能用理想定理自动解决。

带通信号有专门的带通采样条件；不要把本节基带充分条件直接当成所有情况的必要条件。

12. 从理想低通推导 sinc 重建

若频谱副本不重叠，选理想重建滤波器：

$$H_{\mathrm{rec}}(j\omega)= \begin{cases} T_s,&|\omega|<\pi/T_s\\ 0,&|\omega|>\pi/T_s. \end{cases}$$

增益 $T_s$ 抵消采样谱的 $1/T_s$。其冲激响应：

$$\begin{aligned} h_{\mathrm{rec}}(t) &=\frac{T_s}{2\pi}\int_{-\pi/T_s}^{\pi/T_s}e^{j\omega t}\,d\omega\\ &=\frac{T_s}{\pi t}\sin(\pi t/T_s)\\ &=\operatorname{sinc}(t/T_s). \end{aligned}$$

采样冲激串与此函数卷积：

$$\boxed{x(t)=\sum_nx[n]\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_s}{T_s}\right)}.$$

在 $t=mT_s$，所有 $n\ne m$ 项的 sinc 为 0，$n=m$ 项为 1，正确穿过每个采样点。

理想 sinc 无限延伸、非因果；实际重建采用有限滤波器、延迟与近似。简单直线连接样本并不等于理想带限重建。

13. ADC 幅值量化与时间采样不同

理想 $b$ 位 ADC 将输入范围 $V_{\max}-V_{\min}$ 分成 $2^b$ 个区间：

$$\Delta=\frac{V_{\max}-V_{\min}}{2^b}.$$

理想舍入且未超量程时，误差位于约 $[-\Delta/2,\Delta/2]$。若进一步假设量化误差均匀分布：

$$\begin{aligned} \mathbb E[e^2] &=\frac1\Delta\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}e^2\,de\\ &=\frac1\Delta\left[\frac{e^3}{3}\right]_{-\Delta/2}^{\Delta/2}\\ &=\frac{\Delta^2}{12}. \end{aligned}$$

误差为白噪声且与信号不相关，是附加近似，并非量化器对所有输入都成立。小信号、周期输入、饱和与低有效位数时，可能出现相关失真。

实际 code 到电压还涉及单极/双极、偏移、符号编码、增益和厂家端点定义。先读具体 ADC 传递曲线，再把码值变成物理量。

14. 本章练习与答案

1. $x=3+2\cos\omega_0t$ 的系数：$c_0=3$，$c_{\pm1}=1$，其余为零。
2. 1000 Hz 采样的 900 Hz 余弦混叠到多少？100 Hz，因为相差一个采样率并可折叠负频率。
3. $\Omega=\pi/2$、$f_s=2000$ Hz 的普通频率：$f=\Omega f_s/(2\pi)=500$ Hz。
4. 12 位、0～4.096 V 的理想区间宽度：$\Delta=1$ mV；端点编码仍查器件说明。
5. 连续时间周期信号是否必然有连续谱？不必然，理想周期信号由离散谐波谱线表示。