阶次、频率与赫兹：从波形到角域分析

频率回答“每秒重复几次”，阶次回答“参考轴每转重复几次”。这篇笔记从同一个信号的两种坐标出发，推导等角度采样、幅值与相位解释，以及变速信号为什么适合阶次分析。测量链、分辨率和参数选择见阶次跟踪工程流程。

本页历史波形与频谱图来自 Prosig 的《Order Tracking, Frequency and Hertz》，按原文件保存；图片版权归 Prosig。图中的软件显示约定不代表所有分析软件。

1. Hz、rpm 与阶次

频率 $f$ 的单位 Hz 表示周期/秒；轴速 $R$ 的单位 rpm 表示转/分钟。先统一时间单位，得到转频 $r$，再求阶次 $O$：

$$r=\frac{R}{60},\qquad O=\frac{f}{r},\qquad f=Or=O\frac{R}{60}.$$

例如轴速 3600 rpm 时，$r=60$ 转/秒：60 Hz 为一阶，180 Hz 为三阶，30 Hz 为半阶。阶次并不限定为整数。若频率固定为 180 Hz，而轴速升到 5400 rpm，参考转频变为 90 Hz，该分量就变成二阶；只有随转速同步变化的分量才保持固定阶次。

2. 两个正弦波：先看时间频谱

沿用原笔记的测试条件：

$$x(t)=\sin(2\pi60t)+0.5\sin(2\pi180t+\pi/4).$$

采样率 $f_s=2048$ Hz、记录时长 $T=2$ s，因此 $N=f_sT=4096$ 点，DFT 频率间隔 $\Delta f=f_s/N=0.5$ Hz。两分量正好落在第 120 和第 360 个频率格点。关键是记录区间内包含整数周期，并不是“FFT 必须使用某个特殊采样率”。

采样定理的理想前提是信号严格带限且最高频率低于 $f_s/2$；等于边界的正弦可能在某些初相位下全部采成零。真实采集还需为抗混叠滤波器留过渡带，不能把“至少两倍”当成总能恢复的充分工程条件。

图 1：横轴为时间，单位秒。

为什么图中峰值只有 0.5 和 0.25

定义归一化 DFT 系数

$$C[k]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}.$$

由欧拉公式

$$A\sin(\omega t+\phi)=\frac{A}{2j} \left(e^{j(\omega t+\phi)}-e^{-j(\omega t+\phi)}\right),$$

可知正频率复系数的幅值是 $A/2$，相位为 $\phi-\pi/2$。因此本例在正频率两处得到幅值 0.5、0.25，相位为 $-90^\circ$、$-45^\circ$，也可分别表示为 $270^\circ$、$315^\circ$。

图 2：Prosig 原图采用半幅值显示。换成普通单边峰值幅值谱时，这两个非直流、非奈奎斯特点应乘 2，恢复 1.0 和 0.5；RMS 幅值又是另一种约定。

相位应在幅值明显高于噪声的频点解释；几乎零幅值处画出的相位没有稳定物理意义。加窗后还要考虑相干增益修正，不能对任意谱图机械套用这个无窗整数周期示例。

3. 用累计转数替代时间

累计转数为 $q(t)=\int_0^t r(\tau)\,d\tau$。若参考轴恒定为 60 转/秒，则 $q=60t$，代入原信号得

$$x_q(q)=\sin(2\pi q)+0.5\sin(2\pi3q+\pi/4).$$

两分量在每转中分别重复一次和三次，所以角域 DFT 的峰位是一阶和三阶。

原示例每转取 32 点，等角度间隔为 $\Delta q=1/32$ 转。相邻样本的时间差在稳态时相等，变速时一般不相等。转速计脉冲既可以参与硬件采样控制，也可以只用于估计角度，再对固定速率 ADC 数据做数字重采样；两种实现应区分。

图 3：纵轴仍是原物理量，横轴变成累计转数。

图 4：谱峰位于一阶和三阶，保留与图 2 相同的幅值约定。

4. 为什么变速时不能只改 FFT 横轴标签

恒速或块内变化足够小时，可以用一个参考转频把 Hz 横轴换成阶次。若转速在记录块内显著变化，同步成分已经扫过一段 Hz 频带，普通 FFT 会出现展宽；事后除以平均转频不能把已展宽的频谱还原成窄的阶次峰。

数字阶次跟踪先用转速估计 $q(t)$，反求等间隔转角对应的时间，再经合适的带限重采样生成 $x_q[j]$。一次/转脉冲意味着脉冲之间的角度要估计；脉冲质量、插值模型和转速变化速度会影响结果。

Σ-Δ ADC 常结合固定采样时钟和数字滤波，不宜直接用任意齿脉冲替代时钟；具体限制应以器件和采集系统说明为准。使用固定时钟并不妨碍后续数字阶次跟踪，也不能把“某类 ADC 支持”当成所有设备可直接等角触发的保证。

空间采样的相似之处

若沿梁的位置坐标 $z$ 等间距采样，傅里叶变换的直接共轭坐标是空间频率 $\nu$，单位周期/米；使用角波数时为 $k=2\pi\nu$，单位 rad/m。波长是其倒数 $\lambda=1/|\nu|$（非零频率），不是直接的 FFT 坐标单位。

5. 车辆振动图能说明什么

图 5：横轴为转数，包络有明显变化。仅凭这张图不能唯一判定故障来源。

图 6：主要峰位于一阶附近，还可见边带与较小高阶分量。图中标有 Hanning 窗、50% 重叠和 0.0234375 阶的等效噪声带宽；这些属于该次分析设置，不能当成所有数据的默认值。

6. 30～100 Hz 扫频为什么会成为固定一阶

设扫频历时 2 s、频率线性变化，取初频 $r_0=30$ Hz，变化率 $a=(100-30)/2=35$ Hz/s。用信号自身相位定义参考转角，得到

$$r(t)=r_0+at,\qquad q(t)=r_0t+\frac{a}{2}t^2,$$ $$x(t)=A\sin\left(2\pi q(t)+\phi_0\right).$$

图 7：相邻周期随时间缩短。

图 8：整段信号的能量分布在约 30～100 Hz。

用 $q$ 作为自变量后，信号变成 $x_q(q)=A\sin(2\pi q+\phi_0)$，自然只保留一阶正弦。这个例子用自身相位构造参考，仅用于说明坐标变换；真实机械分析仍需要可信的轴转角参考。

图 9：横轴标注 Frequency (Order)，因此它是阶次谱，峰位在一阶。

图 10：横轴标注 Angle (Revs)，因此它是角域波形。原整理稿将图 9、图 10 的图注颠倒，本页已按原图坐标纠正。

角度与时间的正确关系

对 $q=r_0t+at^2/2$ 求非负时间解，当 $a>0$ 时

$$t(q)=\frac{-r_0+\sqrt{r_0^2+2aq}}{a} =\frac{2q}{r_0+\sqrt{r_0^2+2aq}}.$$

第二种写法避免小 $q$ 时两个接近数相减。只有 $r_0=0$ 才简化为 $t=\sqrt{2q/a}$。本例初频 30 Hz，不应写成纯粹的 $t\propto\sqrt q$。

图 11：2 s 时累计转数为 $30\times2+35\times2^2/2=130$ 转，与图中范围一致。

角域波形中没有直接显示加速快慢，但配合 $t(q)$ 可以解释转速历程。有限采样、滤波和插值仍会引入误差；保留映射不意味着任何重采样都无损。

7. 复核时依次检查

1. 明确参考轴、rpm 到转/秒的转换，以及零速/反转区间。
2. 先确认原始时间采样没有混叠、丢脉冲或饱和，再讨论角域结果。
3. 对比频谱时统一单/双边、峰值/RMS、窗口与归一化方式。
4. 根据横轴单位区分时间波形、角域波形、Hz 频谱和阶次谱。
5. 用原始波形和时间—角度关系验证解释，不把某个阶次峰直接等同于唯一故障。

来源与修订说明

本文重新组织了既有 Prosig 中文整理稿，保留其 11 幅分析图及示例背景，补充推导并修正采样边界、空间频率、图注和带初速的角度反函数。原文发表于 2002-02-03，作者 Dr Colin Mercer；原文及图片版权归 Prosig 所有。历史 DATS 功能说明不视为当前全部版本的能力保证。