电路分析：节点、等效变换与列方程

分析电路先确认节点和端口，再选择简化方法。导线在纸上如何弯折、元件画在上方还是下方，都不改变连接关系。本页合并电路基础和简化规则，讨论集总电路模型中的直流电阻网络；动态元件的换路过程见一阶电路。

从连接关系整理电路

串联元件必须流过同一电流，中间连接点不能再引出其他支路；并联元件必须连接在同一对节点之间。先给节点命名，再沿支路重画，比凭图形外观判断可靠。

对于正电阻，串联与并联等效为：

$$R_{\mathrm{series}}=\sum_k R_k,\qquad \frac{1}{R_{\mathrm{parallel}}}=\sum_k\frac{1}{R_k}.$$

二电阻串联分压为 $U_1=U R_1/(R_1+R_2)$；二电阻并联分流为 $I_1=I R_2/(R_1+R_2)$。方向先统一，电压电流保留代数符号。

处理混联网络可分四步：标记节点并重画；由内向外求等效电阻；求总电压或总电流；再逐层用分压、分流关系还原各支路。遇到桥式连接或受控源时，直接列方程通常更清楚。

图中忽略理想电压表的电流后，A、C 之间可整理为 $[R_1+(R_4\parallel R_5)]\parallel(R_2+R_3)$。重画保留节点连接，不需要预先知道真实电流方向。

另一种整理方法是把同一节点的导线标成同色，再排列节点和支路。只有已知电位时才按电位高低排列；给节点编号、经过一个电阻就加一，都不能证明电位一定单调降低。

简化的适用范围

对所有允许外部负载都保持端口关系，与只在当前工作点保留已知电压电流，是两种不同的要求。

简化操作	成立条件与保留的信息
拉直、缩短理想导线，移动导线上的节点标记	连通关系不变，不能跨过元件，也不能把交叉但未相连的线接在一起
理想电流表用短路代替，理想电压表用开路代替	这是理想仪表模型；真实仪表有负担电压或输入电阻，可能影响测量
省略已知零电流支路	只适用于已证明该电流为零的条件，并要保留待求电压、测量或受控源所需信息；负载改变后需重新判断
处理已知等势节点之间的电阻	该工作点电阻电流为零，可不计其电流贡献；不能把“等势”直接变成任何工况都成立的短接约束
直流稳态下将理想电容开路	要求电容电压已恒定，$i_C=C\,du_C/dt=0$；换路瞬间不能仅凭直流电源就开路
用电位标签代替接地电压源的画法	例如正端接 A、负端接地的 $5\,\mathrm V$ 源可标成 $V_A=5\,\mathrm V$，但其电压约束和电流通路仍存在，不能把支路从模型中删掉

简化后若还要计算被省略元件的电流、功率或某个控制量，应保留能恢复这些量的关系。

三角形与星形变换

设三角形的边为 $R_{ab},R_{bc},R_{ca}$；对应星形从 a、b、c 接到中心点的电阻为 $R_a,R_b,R_c$。令 $S=R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}$，则：

$$R_a=\frac{R_{ab}R_{ca}}{S},\qquad R_b=\frac{R_{ab}R_{bc}}{S},\qquad R_c=\frac{R_{bc}R_{ca}}{S}.$$

反变换令 $P=R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a$：

$$R_{ab}=\frac{P}{R_c},\qquad R_{bc}=\frac{P}{R_a},\qquad R_{ca}=\frac{P}{R_b}.$$

这些公式用于有限正电阻时没有分母退化问题；它们保持 a、b、c 三个外端子的电压电流关系，内部支路量不必相同。

理想电源的串并联

理想电压源规定端电压，电流由其余电路决定；理想电流源规定支路电流，电压由其余电路决定。先看极性、箭头和数值，不能用符号画得横或竖判断电源类型。

连接	对外等效与限制
多个理想电压源串联	端电压为按统一极性计算的代数和；无其他引出的中间端口时可合为一个源
多个理想电流源并联	端口电流为按统一方向计算的代数和
理想电压源并联一个相容支路	对该两端端口仍规定相同电压；并联支路的内部电流和功率被隐藏
理想电流源串联一个相容支路	对该两端端口仍规定相同电流；串联支路的内部电压和功率被隐藏

“相容”不能省略：不同电压的理想电压源直接并联会给出矛盾约束；相同电压并联时，各源如何分流通常不唯一。不同电流的理想电流源直接串联也会矛盾。理想电压源与电流源串联、电流源与有限电阻串联，均可在保留其唯一外端口的前提下按电流源简化；电压源与有限电阻并联可按电压源简化。

若内部支路是外部受控源的控制量，不能只保留端口电压电流后就把控制关系丢掉。

电压源模型与电流源模型互换

取端口电压 $u=V_a-V_b$，负载电流 $i$ 从电源 a 端流出。电压源 $U_s$ 串联有限非零电阻 $R$ 的端口关系为：

$$u=U_s-Ri.$$

把它改写成 $i=U_s/R-u/R$，便得到电流源 $I_s=U_s/R$ 与同一 $R$ 并联的模型；电流源箭头指向电压源的正端 a。反过来 $U_s=I_sR$。串联或并联的这个电阻可以是选定等效范围内的外接电阻，并不一定是器件物理内阻。Alberta 的电路实验说明给出了这组端口变换关系。

两模型只保证对外等效。以 $U_s\ne0$、$R>0$ 为例：

端口状态	电压源串联 R	电流源并联 R
开路，$i=0$	串联电阻无电流，电压源电流也为零	电流源电流经并联电阻内部回流，电阻电压为 $U_s$
短路，$u=0$	电压源与串联电阻流过 $U_s/R$	并联电阻电流为零，电流源电流流入外部短路

因此，端口负载电压电流相同，内部支路电流和耗散却可不同。原记录把开路和短路的内部电流现象写反，应按此表判断。单独一个理想电压源或理想电流源，不能通过除以零或取无限参数变成另一种有限参数模型。

列方程的方法

使用前先阅读基尔霍夫定律与电路拓扑，统一参考方向。解得负数只说明实际方向与参考方向相反。

方法	未知量与方程	适合的情况
支路电流法	支路电流，结合 KCL、KVL 和各支路元件关系	直接求多个支路电流，方程数量容易核对
节点电压法	相对参考节点的电位，以 KCL 列式	节点较少、支路较多；不要求网络能画成平面
网孔电流法	各内部网孔的参考环流，以 KVL 列式	平面网络，网孔数少于独立节点数时较方便

支路电流法。 对连通的 n 节点、b 支路网络，先列 $n-1$ 个独立 KCL，再列 $b-n+1$ 个独立回路 KVL，并代入支路关系。全电阻加电压源的支路可直接把电压表示成电流；存在理想电流源时，支路电流本身已知，而源两端电压可能需要作为附加未知量。不能只数出 b 条式子就断言一定有唯一解，还需检查约束是否矛盾或相关。

节点电压法。 选参考节点；对非参考节点列流出电流代数和为零，例如电阻 a-b 的流出电流为 $(V_a-V_b)/R$。接地电压源可直接给出节点电位；浮置理想电压源可将两端合成超节点列 KCL，并补 $V_a-V_b=U_s$，也可引入源电流作附加未知量。

网孔电流法。 每个网孔任选同一绕行方向，共用电阻的支路电流为相邻网孔电流的代数差。网孔间共有理想电流源时，可对绕开该源的超网孔列 KVL，再补两个网孔电流之差等于源电流的约束。

受控源在上述方法中始终保留其关系，例如 $i_s=g(V_a-V_b)$ 或 $u_s=\mu u_x$，并把控制量写成当前未知量。不能把受控源当成一个与未知量无关的常数。Cornell 的受控源讲义说明了节点法与超节点法在这类网络中的用法。

计算完至少检查一组未使用的 KCL/KVL、源约束与功率平衡。需要保留某一负载、反复更换负载时，可进一步使用叠加、戴维南与诺顿定理。