倒谱：从谱线间距寻找周期结构

定义

实倒谱的一种常见定义是：

$$c[n]=\operatorname{IFFT}\left\{\log\left(|X[k]|+\varepsilon\right)\right\}$$

$\varepsilon$ 防止在零幅值处取对数。也有资料使用 $\log |X[k]|^2$；两种约定只差比例，但比较数值时必须保持一致。

倒谱横轴称为倒频率（quefrency）。采样率为 $f_s$ 时，第 $n$ 个倒谱样本对应：

$$q_n=\frac{n}{f_s}\ \text{s}$$

若频谱中存在间隔约为 $\Delta f$ 的周期谱线，倒谱常在：

$$q\approx\frac{1}{\Delta f}$$

附近出现峰值。

flowchart LR
  A["x[n]"] --> B["FFT"] --> C["log |X|"] --> D["IFFT"] --> E["倒谱 c[n]"]
  E --> F["低倒频率<br/>慢变谱包络"]
  E --> G["较高倒频率<br/>谐波/边带间距"]

为什么有用

卷积在频域变成乘法，取对数后变成加法：

$$x=s*h \Rightarrow X=SH \Rightarrow \log|X|=\log|S|+\log|H|$$

如果激励和系统响应占据不同倒频率区域，可通过 liftering，即在倒谱域选择区间，再重建相应部分。

实用流程

1. 选取近似稳态记录，去均值并加窗。
2. 计算幅度谱，设置与噪声底匹配的 $\varepsilon$。
3. 对数变换后做 IFFT。
4. 把峰位置从样本换算为秒，再取倒数得到谱线间距候选。
5. 回到原频谱检查是否真的存在相应等间隔结构。

限制

• 倒谱峰表示谱中存在周期性间距，不等于直接识别出故障原因。
• 对数会增强弱谱和噪声底的影响，动态范围与 $\varepsilon$ 很关键。
• 实倒谱丢失大部分相位信息；要可逆分离通常需要复倒谱和可靠的相位展开。
• 窗、记录长度和非稳态过程都会改变倒谱。
• “先 FFT、取对数、再 IFFT”只是计算骨架，工程解释仍需频带、工况和不确定性。