对极几何

对极几何（Polarity）是射影几何中的一个概念，它涉及到对偶原理，即在射影几何中，点和线是完全对称的。对极几何中的“对极”指的是点和线之间的一种特殊关系，这种关系使得在射影变换下，点和线可以互相转换。

在理想情况下（无噪声），两帧图像 $I_1$ 和 $I_2$ 在三维空间中的几何关系可以通过以下术语来描述：

1）极平面（Epipolar plane）：

• 极平面是由相机光心 $O_1$、$O_2$ 和三维空间中的点 $P$ 确定的平面。

2）极点（Epipoles）：

• 极点是相机之间的连线（基线）与图像平面 $I_1$ 和 $I_2$ 的交点，分别记为 $e_1$ 和 $e_2$。

3）基线（Baseline）：

• 基线是相机光心 $O_1$ 和 $O_2$ 之间的连线。

4）极线（Epipolar line）：

• 极线是极平面与两个像平面 $I_1$ 和 $I_2$ 的交线，分别记为 $l_1$ 和 $l_2$。

1）对极对应：在射影平面上，每个点和每条线都有一个对应的对极元素。点的对极元素是一条线，而线的对极元素是一个点。 2）对极平面：在三维空间中，一个平面的对极元素是该平面上的一个点，而一个点的对极元素是一个平面。这个点位于平面上，并且与平面上的所有直线都相交。 3）对极变换：对极变换是一种射影变换，它将点映射到线，将线映射到点。这种变换保持了射影几何中的某些性质，如交点和并行性。 4）对极性质：对极关系具有一些特殊的性质，例如，如果两个点的对极线相交，那么这两个点的对极点也相交。此外，对极关系是可逆的，即如果点A的对极是线B，那么线B的对极就是点A。 5）对极矩阵：在对极几何中，点和线可以用矩阵表示，对极关系可以通过矩阵的转置来描述。例如，如果点A的矩阵表示为[A]，那么它的对极线B的矩阵表示为[A^T]，其中[A^T]是[A]的转置。 6）对极的应用：对极几何在计算机图形学、机器人视觉、摄影测量等领域有广泛的应用，特别是在处理图像中的点、线和平面之间的关系时。