影响系数法动平衡

影响系数连接的是哪两个量

影响系数法用一次已知试重引起的复数振动变化，标定校正面不平衡量到测点振动的关系。在同一转速、支承、载荷和测量链下，采用线性近似：

$$\mathbf V_{\mathrm{after}}=\mathbf V_0+\mathbf A\mathbf U_c.$$

$\mathbf V_0$ 是原始各测点的 1X 振动，$\mathbf U_c$ 是准备增加的校正不平衡量，$\mathbf A$ 是实测复数影响系数矩阵。1X 表示转频，不一定等于电网工频。高 1X 也不能单独证明故障来自不平衡。

在固定转速下，不平衡力满足 $F=mr\omega^2$。测得的振动还受结构响应、测点方向和传感器影响，所以不能用一个通用的 $F=kA$ 从任意振动幅值反推质量。更准确地说，影响系数是该工况下，从所定义不平衡输入到所定义振动输出的频率响应；它不包含可随意外推到所有转速的完整动力学信息。

统一复数、单位与角度

符号	含义	示例单位
$V=Ae^{j\phi}$	1X 振动复数，包含幅值和相位	µm 峰值、mm/s RMS 或 m/s² 峰值，择一贯穿计算
$U=mr e^{j\theta}$	某校正面的不平衡量	g·mm
$m,r,\theta$	质量、安装半径、安装角度	g、mm、°
$\alpha=\Delta V/U_t$	单位不平衡量引起的复数响应	例如 µm/(g·mm)

角度输入先换成弧度再用于复指数。取相位用 angle 或 atan2(imag,real)，不能用 atan(imag/real) 丢掉象限。零度位置、观察端、旋转方向、角度增大方向以及仪器的超前/滞后相位定义必须保持一致。不能把一台仪器输出的“滞后角”直接当作另一套公式的“超前相位”。

本文波形采用 $x(t)=\Re\{Ve^{j\theta(t)}\}$，其中 $\theta=0$ 为键相参考。用于计算的安装角也须符合所采用的复数约定；实机按仪器的方向规则映射。试重测量可辨识固定响应相移，但不能修复混用两种角度方向造成的错误。

如果试重与校正始终在同一固定半径，也可以改用质量复数 $q=me^{j\theta}$，此时系数单位是振动单位/g。两种写法不能交叉使用：质量不是质径积，$\alpha U_t$ 是振动变化，也不是不平衡量。

单平面：先相减，再求解

测量无试重状态 $V_0$，装上已知 $U_t$ 后测量 $V_t$：

$$\Delta V=V_t-V_0,\qquad \alpha=\frac{\Delta V}{U_t},\qquad U_c=-\frac{V_0}{\alpha}.$$

减法在复数平面中进行，不能只用两个幅值相减。结果 $U_c$ 是相对于原始状态所需的总校正量，假设试重已经移除。若校正半径为 $r_c$，则 $m_c=|U_c|/r_c$，安装角为 $\arg U_c$。

一个可复算的例题

沿用同半径的质量写法，令 $V_0=10\angle30^\circ$ µm、$V_t=6\angle45^\circ$ µm、$q_t=20\angle90^\circ$ g：

$$\begin{aligned} V_0&=8.660254+j5,\\ V_t&=4.242641+j4.242641,\\ \alpha_m&=-0.03786797+j0.22088066\ \mathrm{\mu m/g},\\ q_c&=-V_0/\alpha_m. \end{aligned}$$

校正结果约为 44.62 g、110.27°，用于原试重半径，并按上述角度约定解释。将复数结果代回 $V_0+\alpha_mq_c$ 应接近零。这里的零是线性模型的预测；实测残余量仍需复测。

保留试重、改变半径与去重

• 移除试重：安装 $U_c$。
• 保留试重：另加 $U_{\mathrm{add}}=U_c-U_t$，不能再完整加一次 $U_c$。
• 改变半径：先保持质径积不变，再算 $m_c=|U_c|/r_c$；不要只复制克数。
• 用去重实现：从与加重方向相差 180° 的位置去除等效质径积，且该位置必须允许加工。

仪器里的“移除试重”选项会改变应安装的增量，应与实际状态逐面一致。Adash VA5 手册

只能在固定叶片位置加重

若目标 $U_c=|U_c|e^{j\theta}$ 位于相邻安装角 $\theta_a,\theta_b$ 之间，且展开后的夹角在 $0$ 到 $180^\circ$ 内，可分解为：

$$U_a=|U_c|\frac{\sin(\theta_b-\theta)}{\sin(\theta_b-\theta_a)},\qquad U_b=|U_c|\frac{\sin(\theta-\theta_a)}{\sin(\theta_b-\theta_a)}.$$

质量分别为 $m_a=U_a/r_a$、$m_b=U_b/r_b$。这两个量是沿固定方向的非负大小；必须检查分母、可安装质量和复数合成残差。夹角接近 0° 或 180° 时分解敏感；目标不在允许扇区时不能把负质量当作可直接加上的配重。

双平面及多测点

两个校正面 A/B 各做一次试重，每次都记录两个测点。以两次都从相同原始状态开始、试重不叠加为例：

$$\mathbf A= \begin{bmatrix} (V_{1A}-V_{10})/U_{tA}&(V_{1B}-V_{10})/U_{tB}\\ (V_{2A}-V_{20})/U_{tA}&(V_{2B}-V_{20})/U_{tB} \end{bmatrix},\qquad \mathbf A\begin{bmatrix}U_{cA}\\U_{cB}\end{bmatrix} =-\begin{bmatrix}V_{10}\\V_{20}\end{bmatrix}.$$

交叉项通常不为零，不能将两个测点分别当成互不影响的单面问题。双面需求来自偶不平衡等因素；“双面”本身不等于柔性转子。柔性转子的多转速或模态平衡需另建适用模型。

一般有 $N$ 个响应和 $M$ 个校正面时，$\mathbf A$ 是 $N\times M$；每一列来自该面的独立试重响应。若使用多转速数据堆叠，必须保留每个转速自身的影响系数和测量口径。

求解、权重与病态

方阵且可逆时直接解线性方程。超定时可最小化 $\|\mathbf A\mathbf U_c+\mathbf V_0\|_2$；关键测点或不同噪声水平可以采用：

$$\min_{\mathbf U_c}\|\mathbf W^{1/2}(\mathbf A\mathbf U_c+\mathbf V_0)\|_2^2.$$

MATLAB 用 Uc = -(A\V0)。独立测点权重 $W=\operatorname{diag}(w_i)$ 且 $w_i\ge0$ 时，用 R=diag(sqrt(w))，再解 Uc=-((R*A)\(R*V0))。若相关噪声产生一般正定权矩阵，可取 R=chol(W)，满足 $R^HR=W$；不能用逐元素 sqrt(W) 代替矩阵因子。不建议显式求逆或通过正规方程 $(A^HA)^{-1}A^H$ 实现；正规方程会加重数值条件问题。MATLAB 线性方程求解

需要同时检查秩、奇异值、条件数、重复测量散布和校正量约束。条件数没有脱离测量误差的通用“100 合格、1000 不合格”阈值。较大的试重可能改善信噪比，但不能保证两列原本近共线的影响矩阵变得独立。固定的行列式绝对阈值还会随单位缩放变化。

若使用 Tikhonov 正则化，明确变量尺度和参数含义，例如最小化 $\|A U+V_0\|^2+\lambda^2\|U\|^2$，用增广系统 [A; lambda*eye(M)] 与 [-V0; zeros(M,1)] 求解。正则化引入偏差，不能把它造成的小配重或小残差当作实机已经达标。质量上限、固定角度和只允许加重的条件应进入约束求解，而非求解后随意截断。

复用系数与转换测量单位

保存影响系数可省略新的试重运行，但必须验证转速、装配、支承、测点、参考角、通道增益和处理链仍适用。同型号不同机器不能仅凭型号就共用系数；存储系数应连同工况、单位、半径和校验运行记录保存。

使用加速度、速度或位移的同一 1X 复数分量都可以标定并求解。若所有标定和运行数据使用同一非零复数转换 $H$，则 $V'=HV$、$\alpha'=H\alpha$，单面计算的 $-V'/\alpha'$ 不变。因此“加速度必须积分后才能正确平衡”不成立。危险的是标定用加速度、后续却用速度，或只对某次测量改了相位。多测点最小二乘还需同步处理各行权重和噪声尺度。

平衡质量等级不能从机壳振动直接读出

ISO 21940-11 讨论刚性行为转子的剩余不平衡容差、校正面和容差分配；不是把轴承座速度读数直接贴成 G 等级的规则。ISO 21940-11 范围

平衡质量关系写成 $G=e_{\mathrm{per}}\omega$，其中 $e_{\mathrm{per}}$ 是允许剩余比不平衡，等于不平衡量/转子质量。它不是传感器测得的轴位移或机壳位移。若 $G$ 用 mm/s、转子质量 $M$ 用 kg：

$$e_{\mathrm{per}}[\mathrm{mm}]=\frac{G}{\omega},\qquad U_{\mathrm{per}}[\mathrm{g\,mm}]=1000M\frac{G}{\omega}.$$

例如仅作单位演算，50 kg、3000 r/min、选定 G6.3 时，总量约为 1002.68 g·mm、比不平衡约为 20.05 µm。该总量不能随意平均分到两个校正面；实际等级选择、容差平面分配和误差处理须按所采用的标准与设备要求确定。整机振动评价另见 振动标准。

继续阅读：双面实施流程、键相与 1X 测量、可运行 MATLAB 计算例子、夹具与跳动补偿。

补充概念：不平衡类型、G 等级与单位、支承动力学、多测点优化。