多测点平衡：L2、L∞ 与安装灵敏度

常规单面/双面平衡与“高级平衡”的关键差别，往往是测量约束多于可用校正平面。此时需要在多个测点、工况或速度之间选择可接受的剩余响应，不能要求每个点都归零。

原笔记的 Balancer / Advanced Balancer 功能描述可与 Adash VA5 Pro 手册对应。下文把仪器流程与通用数学关系分开解释；通道数、导出格式和界面上限应按实际型号、软件版本与授权核对。

1. 一次平衡作业需要保存什么

项目记录至少应包含：机器与测点标识、转速、传感器方向、相位基准、校正面半径、试重质量与角度、初始/试重/校正运行结果，以及试重保留或拆除状态。

基本顺序为初始测量 → 逐面试重与响应测量 → 计算校正 → 安装校正 → 复测，必要时再做修整。项目可按仪器功能复制、重命名、导出；原笔记提到 RTF/CSV 报告，但不能把这些格式当成所有版本的通用保证。

测量点是“在哪里观察响应”，校正平面是“在哪里改变质量分布”。增加测量点不会自动增加能独立控制的校正自由度。

2. 多测点影响系数模型

用 $p$ 个测量响应和 $q$ 个校正面，建立：

$$\boldsymbol r=\boldsymbol v_0+\mathbf A\boldsymbol u, \qquad \mathbf A\in\mathbb C^{p\times q}.$$

$\boldsymbol v_0$ 是初始复数振动，$\boldsymbol u$ 是校正不平衡矢量，$\boldsymbol r$ 是预计剩余响应；每一列影响系数来自该校正面的试重响应变化。所有测量使用一致的转速、单位和相位约定。

当 $p>q$ 时通常无法让每个剩余响应都为零。校正面不可接近时，可仅使用实际能安装质量的平面来建立矩阵；没有试重、有效历史标定或其他可信辨识依据的平面，不能凭空补出一列影响系数。

3. L2 与 L∞ 在优化什么

目标	数学含义	可能的取舍
L2	最小化 $\sum_i \lvert r_i\rvert^2$	改善总体平方和，但可能留下一个较大测点
加权 L2	最小化 $\sum_i w_i\lvert r_i\rvert^2$，$w_i>0$	让不同限值、重要程度或测量可靠性得到合理权重
L∞	最小化 $\max_i \lvert r_i\rvert$	压低最差测点，可能让其他点的响应增加一些

不能把不同量纲的加速度、速度和位移直接混在无量纲权重不明的目标中。常见做法是先按各测点允许值归一化，再说明所使用的目标和限制。

一个可手算的一维教学例子：只允许一个实数校正量 $u$，两个剩余响应为 $r_1=3+u$、$r_2=2u$。

• L2 最小化 $(3+u)^2+(2u)^2$，得到 $u=-0.6$，剩余为 $(2.4,-1.2)$，最大幅值 2.4。
• L∞ 最小化 $\max(|3+u|,|2u|)$，得到 $u=-1$，剩余为 $(2,-2)$，最大幅值 2。

两者都是针对各自目标的解。实际平衡是复数问题，且可能有质量上限、可用孔位、半径、不可加负质量等安装约束；不能直接把这个实数例子当作现场配重。

可运行的复数最小二乘示例见 MATLAB 平衡计算。L∞ 通常需要相应的约束优化处理，不能把 L2 解简单取模后当作 L∞ 解。

4. 灵敏度与分组测量

矩阵病态、很弱的试重响应或相似的校正列，会使解对噪声和安装误差敏感。除了预测剩余值，还应检查小幅改变质量、角度或测量输入后的结果，以及实际安装是否满足允许误差。

原稿提到 5%、10%、20% 的灵敏度显示，它们属于所述仪器的情景参数；应从手册确认百分比针对质量、位置还是组合误差。角度本身要用 ° 或 rad 表示，不能没有定义就把“10%”写成“10°”。

可用传感器通道少于测量点时，某些仪器支持分组采集。每组必须保持同一参考相位和可重复工况，否则拼接出的复数响应不再属于同一个线性系统。复测要覆盖参与优化的所有关键测点，而不只看最初振动最大的一个点。

5. 补充官方视频

Adash：Advanced Balancing 演示视频展示了可用校正面少于测点的情景，以及 L2、L∞ 与灵敏度的比较。该官方页面标注发布于 2020-11-11；其中最多八个平面/八个测点的描述属于该产品演示，不能推广为所有平衡仪的能力。

观看时可带着三个问题核对：每个响应来自哪个测点、哪个校正面实际可接近、最终选择的是总体平方和还是最坏测点目标。安装后的实测验收仍按设备要求进行。