二叉树基础

参天大树充满生命力，根深叶茂，分枝扶疏。它为我们展现了数据分治的生动形态。

二叉树

**「二叉树 binary tree」**是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。

/* 二叉树节点结构体 */
struct TreeNode {
    int val;          // 节点值
    TreeNode *left;   // 左子节点指针
    TreeNode *right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

每个节点都有两个引用（指针），分别指向**「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」**，同理可得「右子树 right subtree」。

在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。如图 所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。

以下是您提供的二叉树相关术语的表格：

术语	描述
根节点 (root node)	位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
叶节点 (leaf node)	没有子节点的节点，其两个指针（左子节点和右子节点）均指向 None。
边 (edge)	连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
层 (level)	节点所在的层，从顶至底递增，根节点所在层为 1。
度 (degree)	节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2。
二叉树的高度 (height of binary tree)	从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
节点的深度 (depth of a node)	从根节点到该节点所经过的边的数量。
节点的高度 (height of a node)	从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。

请注意，我们通常将“高度”和“深度”定义为“经过的边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“经过的节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。

二叉树基本操作

初始化二叉树

与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用（指针）。

/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// 构建节点之间的引用（指针）
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;

插入与删除节点

与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。

/* 插入与删除节点 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除节点 P
n1->left = n2;

需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。

常见二叉树类型

完美二叉树

「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 0 ，其余所有节点的度都为 2 ；若树的高度为 ℎ ，则节点总数为 2ℎ+1−1 ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。

完全二叉树

「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。

完满二叉树

「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

平衡二叉树

「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。

二叉树的退化

当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。

• 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
• 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至O(n) 。

在最佳结构和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大值或极小值。