相位与时间差

定义

单频正弦可以写成：

$$x(t)=A\cos(2\pi ft+\phi)$$

$\phi$ 是相对于所选时间原点的初相位。两个同频信号的相位差才有直接、稳定的几何意义：

$$\Delta\phi=\operatorname{wrap}(\phi_y-\phi_x)$$

wrap 表示把角度映射到约定区间，例如 $(-180^\circ,180^\circ]$。相位不是信号的绝对属性；改变时间原点、传感器极性或参考方向都会改变它。

相位差与时间差

若 $y(t)=x(t-\Delta t)$，则在频率 $f$ 上：

$$\Delta\phi=-2\pi f\Delta t$$

因此：

$$\Delta t=-\frac{\Delta\phi}{2\pi f}$$

频率	时间延迟	相位滞后
10 Hz	25 ms	90°
100 Hz	2.5 ms	90°
1 kHz	0.25 ms	90°

同一时间延迟会随频率产生不同相位，所以宽带信号不能用单个相位角完整描述。

跨通道测量

flowchart LR
  R["参考通道 x"] --> X["交叉谱 Gxy"]
  M["测量通道 y"] --> X
  X --> P["相位 arg(Gxy)"]
  X --> C["相干度检查"]
  C --> V{"该频点可信?"}
  P --> V

频域相位常由交叉谱得到：

$$\phi_{yx}(f)=\arg\{G_{yx}(f)\}$$

有效条件：

• 两通道共享或已校准时间基准；
• 传感器、调理链和滤波器的相位响应已知；
• 目标频点有足够信噪比；
• 分段、窗函数和平均方式一致；
• 相干度低时不强行解释相位。

常见错误

• 把“峰值出现的横坐标差”直接当作宽带信号的统一相位差。
• 忘记角度正方向、通道顺序和传感器极性。
• 把 $359^\circ$ 与 $1^\circ$ 的差写成 $358^\circ$，而不是包裹后的 $-2^\circ$。
• 在转速变化时用固定频点比较相位，却没有同步阶次或转速参考。