正弦稳态交流电路：相量、阻抗与功率

相量法把同一角频率下的正弦稳态微分方程变成复数代数方程。本文统一使用余弦参考、有效值相量和关联参考方向：电流从元件电压标为正的一端流入，$p=ui>0$ 表示该元件吸收功率。

它描述线性时不变电路中已经建立的正弦稳态，不直接包含开关瞬间的暂态和初始储能。无损谐振等情况下，稳态未必存在，不能无条件假定“等足够久总会得到有界正弦波”。

1. 正弦量、周期和相位

以电流为例：

$$i(t)=I_m\cos(\omega t+\psi_i),\qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.$$

符号	意义	单位
$i(t)$	瞬时电流，可正可负	A
$I_m\geq0$	峰值，即最大绝对值	A
$T$	非常量周期信号的基本周期	s
$f=1/T$	频率	Hz
$\omega$	角频率	rad/s
$\psi_i$	相对于所选时间原点的初相位	rad 或 °

幅值、频率和初相位是正弦量的三要素。初相位可相差任意整数倍 $2\pi$ 而表示同一波形，通常选定一个主值区间。零均值正弦量是交变量；一般周期量也可能带有直流分量，不能把“周期量”与“交流分量”完全等同。

对于同频率的电压和电流：

$$u(t)=U_m\cos(\omega t+\psi_u),\qquad \varphi=\psi_u-\psi_i.$$

在选定的主值范围内，$\varphi>0$ 表示电压超前电流，$\varphi<0$ 表示电压滞后。相位差是角度；对应的时间移位大小为 $|\varphi|/\omega$，不能直接把角度当作秒。不同频率之间一般没有恒定的相位差。

相位差	关系
$0$	同相，同一时刻到达各自正峰值
$\pm\pi/2$	正交，相差四分之一周期
$\pm\pi$	反相，一方正峰值对应另一方负峰值

同频率正弦量相加、相减或求导仍可写成同频率正弦量，结果也可能为零。积分还包含积分常数；正弦稳态相量运算只处理对应的交流特解。

2. 有效值不是平均值

周期电流的有效值（RMS）定义为：

$$I=\sqrt{\frac1T\int_0^T i^2(t)\,\mathrm{d}t}.$$

它等于在同一理想电阻上产生相同平均热功率的直流电流大小。对零均值正弦电流，利用 $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$：

$$I^2=\frac{I_m^2}{T}\int_0^T\cos^2(\omega t+\psi_i)\,\mathrm{d}t =\frac{I_m^2}{2}, \qquad I=\frac{I_m}{\sqrt2}.$$

同理，$U=U_m/\sqrt2$。例如一个假设为理想正弦的 $220\,\mathrm{V}$ RMS 电压，其峰值约为 $311.13\,\mathrm{V}$；这不是对任意电源波形峰值的测量结论。

交流设备额定值通常采用 RMS。仪表是否能准确测量畸变波形，还取决于真有效值功能、带宽、量程和峰值因数；“交流档显示值”不天然等于任意波形的真实 RMS。

3. 复数与相量的约定

虚数单位用 $\mathrm{j}$ 表示，避免与电流 $i$ 混淆，且 $\mathrm{j}^2=-1$。同一复数的几种写法为：

$$A=a+\mathrm{j}b =|A|(\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta) =|A|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta} =|A|\angle\theta.$$

$|A|=\sqrt{a^2+b^2}$，幅角需要按象限确定，数值计算可用 atan2(b,a)；零复数的幅角没有唯一意义。

若 $A=a+\mathrm{j}b$、$B=c+\mathrm{j}d$：

$$\begin{aligned} A\pm B&=(a\pm c)+\mathrm{j}(b\pm d),\\ AB&=(ac-bd)+\mathrm{j}(ad+bc),\\ \frac AB&=\frac{ac+bd}{c^2+d^2} +\mathrm{j}\frac{bc-ad}{c^2+d^2},\quad B\ne0. \end{aligned}$$

乘除在极坐标下更简便：模相乘/除，角相加/减。乘以 $\mathrm{j}$ 在通常实轴向右、虚轴向上的复平面内逆时针转 $90^\circ$，乘以 $-\mathrm{j}$ 则顺时针转 $90^\circ$。

本文用下划线表示 RMS 相量：

$$\underline U=U\mathrm{e}^{\mathrm{j}\psi_u},\qquad u(t)=\sqrt2\,\operatorname{Re}\{\underline U\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\}.$$

相量本身不包含随时间旋转的因子。写成 $\sqrt2\,\underline U\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}$ 后得到旋转复数，其实部才对应瞬时电压。部分教材使用峰值相量 $\underline U_m=\sqrt2\,\underline U$；两种约定都可用，但同一道题必须统一，特别是功率计算中的系数。

图中的坐标轴相对于常见画法整体旋转了 $90^\circ$，投影关系不变。固定频率的因子在相量计算中暂时省略，恢复时域时再乘回。

4. 把电路方程变为相量方程

对角频率 $\omega>0$ 的正弦分量：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ \longleftrightarrow\ \mathrm{j}\omega, \qquad \int(\cdot)\,\mathrm{d}t\ \longleftrightarrow\ \frac1{\mathrm{j}\omega}.$$

第二个关系不包含任意积分常数和直流分量。KCL、KVL 同样适用，只需在一致参考方向下分别令节点电流相量的代数和、回路电压相量的代数和为零。

理想元件	时域伏安关系	RMS 相量关系	阻抗 $Z$	导纳 $Y$
电阻 $R>0$	$u=Ri$	$\underline U=R\underline I$	$R$	$1/R$
电感 $L>0$	$u=L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$	$\underline U=\mathrm{j}\omega L\underline I$	$\mathrm{j}\omega L$	$1/(\mathrm{j}\omega L)$
电容 $C>0$	$i=C\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}t$	$\underline I=\mathrm{j}\omega C\underline U$	$1/(\mathrm{j}\omega C)=-\mathrm{j}/(\omega C)$	$\mathrm{j}\omega C$

电容的阻抗含负虚部，导纳含正虚部，因此不能把电流关系写成 $\underline I=-\mathrm{j}\omega C\underline U$。理想电感电压超前电流 $90^\circ$，理想电容电流超前电压 $90^\circ$。

对线性一端口，在相关量非零且比值存在时：

$$Z=\frac{\underline U}{\underline I}=R+\mathrm{j}X,\qquad Y=\frac{\underline I}{\underline U}=G+\mathrm{j}B=\frac1Z.$$

阻抗单位为 $\Omega$，导纳单位为西门子（S）。$|Z||Y|=1$，角度互为相反数（模 $2\pi$ 意义下）；$Z=0$ 等边界要另行处理，不能机械求倒数。

串联阻抗相加，并联导纳相加，混联按结构逐步合并。例如串联 RLC：

$$Z=R+\mathrm{j}\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right).$$

在某个频率测得电压电流同相，只能说明该端口此时等效阻抗为实数，不能推出内部只有电阻；串联 RLC 在谐振时也可同相。同样，相差 $90^\circ$ 可说明端口呈纯感性或纯容性特征，但不唯一确定内部元件组合。

5. 瞬时功率、平均功率与复功率

令 $u=\sqrt2U\cos(\omega t+\psi_u)$、$i=\sqrt2I\cos(\omega t+\psi_i)$，由积化和差：

$$p(t)=ui =UI\left[\cos\varphi+\cos(2\omega t+\psi_u+\psi_i)\right], \qquad P=\frac1T\int_0^T p(t)\,\mathrm{d}t=UI\cos\varphi.$$

RMS 相量下的复功率为：

$$\underline S=\underline U\underline I^{*}=P+\mathrm{j}Q, \qquad Q=UI\sin\varphi, \qquad S=|\underline S|=UI.$$

星号表示复共轭。$P$ 单位是 W，$Q$ 单位是 var，视在功率 $S$ 单位是 VA。若使用峰值相量，应改成 $\underline S=\underline U_m\underline I_m^{*}/2$。本文所有下面的 $U,I$ 都是 RMS，不再混用峰值。

电阻：功率非负

取 $i=\sqrt2 I\cos\theta$，$\theta=\omega t+\psi_i$，则：

$$u=\sqrt2 RI\cos\theta,\qquad p=RI^2(1+\cos2\theta)\geq0, \qquad P=RI^2=UI,\quad Q=0.$$

理想正电阻持续耗能；真实电阻在较高频率还可能有寄生电感和电容。

电感：固定电流余弦参考后推导

取同样的 $i=\sqrt2 I\cos\theta$，则：

$$u=-\sqrt2\,\omega LI\sin\theta =\sqrt2 U\cos(\theta+\pi/2),\qquad U=\omega LI.$$

因此：

$$p_L=-UI\sin2\theta,\qquad P_L=0,\qquad Q_L=UI=\omega LI^2>0,$$ $$w_L=\frac12Li^2=LI^2\cos^2\theta =\frac12LI^2(1+\cos2\theta).$$

储能在 $0$ 与 $LI^2$ 之间变化。对上式求导可得 $\mathrm{d}w_L/\mathrm{d}t=p_L$，可用来检查符号。若换成电压余弦参考，功率正弦项的表面符号会改变；必须连同参考相位一起转换。

电容：固定电压余弦参考后推导

令 $u=\sqrt2 U\cos\eta$，$\eta=\omega t+\psi_u$，则：

$$i=-\sqrt2\,\omega CU\sin\eta =\sqrt2 I\cos(\eta+\pi/2),\qquad I=\omega CU.$$

因此：

$$p_C=-UI\sin2\eta,\qquad P_C=0,\qquad Q_C=-UI=-\omega CU^2<0,$$ $$w_C=\frac12Cu^2=CU^2\cos^2\eta =\frac12CU^2(1+\cos2\eta).$$

储能在 $0$ 与 $CU^2$ 之间变化。两种元件的上述 $p(t)$ 都带负号，是因为分别用了电感电流和电容电压作余弦参考；不能直接用这两个正弦项的符号判断感性/容性，无功符号由 $\varphi=\psi_u-\psi_i$ 决定。

理想 L/C 的平均功率为零，表示储能周期性返回电路，不表示电流为零，也不表示实际线圈、介质和连接导线没有损耗。对纯电抗，$|Q|$ 等于瞬时交换功率的峰值；不能把这个解释无条件推广到任意复杂波形。

6. 一个串联 RL 算例

设 $f=50\,\mathrm{Hz}$、$R=10\,\Omega$、$L=10\,\mathrm{mH}$，输入 $\underline U=10\angle0^\circ\,\mathrm{V}$ RMS：

$$\omega=100\pi\,\mathrm{rad/s},\qquad Z=10+\mathrm{j}\pi\,\Omega,\qquad \underline I=\frac{10}{10+\mathrm{j}\pi} \approx0.91017-\mathrm{j}0.28594\,\mathrm{A}.$$

所以 $I\approx0.95403\,\mathrm{A}$，电流相位约为 $-17.44^\circ$，即滞后电压。复功率约为：

$$\underline S\approx9.10170+\mathrm{j}2.85938\,\mathrm{VA}, \quad P\approx9.10170\,\mathrm{W},\quad Q\approx2.85938\,\mathrm{var}.$$

用 $I^2R$ 与 $\omega LI^2$ 分别计算，应得到同样的 $P,Q$。恢复时域时：

$$i(t)\approx\sqrt2(0.95403)\cos(100\pi t-0.30440)\,\mathrm{A}.$$

这里把 $-17.44^\circ$ 换成了约 $-0.30440\,\mathrm{rad}$，与 $100\pi t$ 使用相同角度单位。

7. 非正弦周期波形如何处理

满足相应收敛条件的周期信号可以用傅里叶级数表示为直流分量与基频整数倍谐波之和，不应把这一说法简单等同于任意函数的傅里叶变换。在线性电路中，各频率分别用自己的阻抗求解，再回到时域叠加；不同频率的相量不能直接相加成一个相量。

如果 $I_n$ 是第 $n$ 次正弦谐波的 RMS，$I_0$ 是直流分量，则在正交和级数适用条件下：

$$I_{\mathrm{rms}}^2=I_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}I_n^2.$$

一般功率因数定义为 $\mathrm{PF}=P/(U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}})$；只有电压、电流均为同频正弦时才直接等于 $\cos\varphi$。例如电压为纯正弦而电流畸变，只有与电压同频、同相的电流分量贡献平均功率，但其他谐波仍会增加 RMS 电流和损耗。

参考资料与检查范围

• MIT 6.002：正弦稳态分析
• Concordia University：AC Circuit Analysis；该讲义使用峰值相量，本文已统一换算为 RMS。
• MIT 6.622：有效值与功率因数

本文以数值积分复核 RMS、RL 平均功率、L/C 储能变化与瞬时功率，并检查相量和时域一致性。理想模型的这些检验不等于实际元件或仪表的测量结果。