单边幅值谱与功率谱密度

设实信号 $x[n]$ 乘窗 $w[n]$ 后的未归一化 DFT 为：

$$X_w[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]w[n]e^{-j2\pi kn/N}$$

单边幅值谱

窗相干增益为：

$$CG=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}w[n]$$

双边峰值幅度估计：

$$A_2[k]=\frac{|X_w[k]|}{N\,CG}$$

对实信号，正负频率共轭对称。构造单边峰值幅值谱时：

$$A_1[k]= \begin{cases} A_2[k], & k=0\\ 2A_2[k], & 0<k<N/2\\ A_2[k], & k=N/2\ \text{且 N 为偶数} \end{cases}$$

DC 和偶数长度记录的 Nyquist 频点没有独立的负频率伙伴，不能乘 2。奇数 $N$ 不含恰好位于 Nyquist 频率的频点。

窗归一化的 PSD

窗平方和 $U=\sum w^2[n]$。双边 periodogram 为：

$$P_{xx,2}[k]=\frac{|X_w[k]|^2}{f_s U}$$

单位是“输入单位平方/Hz”。实信号的单边 PSD 同样把正频率内部频点乘 2，DC 和 Nyquist 不乘 2。

flowchart LR
  A["x[n]"] --> B["去趋势"] --> C["乘窗"] --> D["DFT"]
  D --> E["幅值谱<br/>除以 N·CG"]
  D --> F["PSD<br/>除以 fs·Σw²"]
  E --> G["内部正频点 ×2"]
  F --> H["内部正频点 ×2"]

正确归一化后应近似满足：

$$\sum_k P_{xx}[k]\Delta f\approx\frac{1}{N}\sum_n x^2[n]$$

有限数据、去趋势和窗会使等式形式随定义略有变化，但这仍是非常有效的数值自检。

Welch 方法

单段 periodogram 方差较大。Welch 方法把数据分段、加窗、计算各段 periodogram，再求平均：

flowchart LR
  A["长记录"] --> B["重叠分段"] --> C["逐段加窗"] --> D["逐段 PSD"] --> E["均值或中位数平均"]

• 段越长：频率分辨率更细，但可平均的段数更少。
• 段越短：估计更平滑，但相近成分更难分开。
• 重叠增加可用分段，但相邻段并非独立样本。
• 换窗、段长或平均方式后，比较基线也应重新建立。

优先使用成熟库的 periodogram 或 welch，并显式设置 fs、窗、段长、重叠、去趋势和 scaling，不要依赖默认值猜测单位。