傅里叶变换、DFT 与 FFT

知识概念更新于 2026-08-17编辑本文

四个概念不要混用

FFT 不产生一种新的频谱，也不会自动解决混叠、泄漏和缩放问题。

连续时间傅里叶变换：

X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt

$N$ 点 DFT 及其逆变换：

X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}

x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn/N}

不同软件可能把 $1/N$ 放在正变换、逆变换或两边各放 $1/\sqrt{N}$ 。比较结果前必须确认约定。

采样率为 $f_s$ 时，第 $k$ 个 DFT 频点对应：

f_k=\frac{k f_s}{N},\qquad \Delta f=\frac{f_s}{N}=\frac{1}{T}

$T=N/f_s$ 是记录时长。若 $f_s=2048\ \text{Hz}$ 、 $N=4096$ ，则 $T=2\ \text{s}$ 、频点间隔 $\Delta f=0.5\ \text{Hz}$ 。

flowchart LR
  A["采样率 fs<br/>决定无混叠频带"] --> B["样本数 N"]
  B --> C["记录时长 T=N/fs"]
  C --> D["频点间隔 Δf=1/T"]
  B --> E["FFT 计算量"]

零填充增加绘图和峰值插值的频点密度，但不增加观测时长，因此不改善分辨两个相近分量的本质能力。

对有限数据做 DFT 等价于把无限信号乘以一个有限窗。频域中，这会把真实频谱与窗的频谱卷积。当周期分量没有恰好落在 DFT 频点上时，能量扩散到邻近频点，即频谱泄漏。

处理顺序：