信号与系统：从零开始的完整笔记

这套笔记面向第一次系统学习信号与系统的人。先说明一个量是什么，再写定义，接着展开推导，最后用数字和单位检查结果。核心例子贯穿全文：电容充电、两点平均器，以及一段 ADC 采样数据。

本入口保留原骨干笔记的标识；原来的学习提纲已展开为下列六章正文。可以按顺序学习，也可以从问题进入具体推导。

1. 完整阅读顺序

章	正文	学会之后可以回答
01	数学、信号、系统与卷积	每个符号是什么？系统为什么要区分线性和时不变？卷积从哪里来？
02	拉普拉斯与连续传递函数：从 RC 电路逐步推导	为什么电阻电压是输入减输出？求导为什么变成乘以 $s$？如何反变换？极点、频响、二阶与反馈怎样计算？
03	Z 变换与数字传递函数：从采样序列到程序	$x[n]$ 与 $X(z)$ 有何区别？$z^{-1}$ 为什么代表延迟？过去数据如何实际保存？
04	傅里叶与采样：从正交分解到混叠	频谱如何定义？傅里叶系数为什么这样算？连续信号怎样变成数列？
05	DFT、FFT、窗与频谱标定的完整推导	FFT 具体算什么？为什么除以 $N$、为什么乘 2？补零、幅值、RMS、PSD 如何区分？
06	滤波、采集与振动应用的推导笔记	RC 怎样变成数字递推？抽取、CIC、IQ、振动导数、阶次和链路校准如何连接？

首次阅读，先完成 01 的符号与导数部分，再学习 02 的 RC 例子；读懂实际电压后，进入 03 的采样序列。傅里叶和 FFT 放在后面，避免同时接触太多新符号。

2. 整条主线如何连接

实际对象或操作	时域模型	为分析而使用的表示
模拟电压随时间变化	$x(t)$	$X(s)$ 或 $X_{\mathrm c}(j\omega)$
ADC 每隔 $T_s$ 测一次	$x[n]=x(nT_s)$	$X(z)$ 或 $X_{\mathrm d}(e^{j\Omega})$
电容由电流充电	$\tau y'(t)+y(t)=x(t)$	$H(s)=1/(1+\tau s)$，零初始状态
当前与上一点平均	$y[n]=(x[n]+x[n-1])/2$	$H(z)=(1+z^{-1})/2$
截取 $N$ 个点算频谱	$x[0],\ldots,x[N-1]$	$N$ 点 DFT；FFT 是计算算法
正弦通过稳定 LTI 系统	幅度改变、相位移动	$Y=HX$ 的复幅值关系

变换是一种数学表示。它不会把真实电压变成另一个物理东西，也不意味着程序每来一个采样点就必须计算一遍完整 Z 变换。

3. 全书符号约定

符号	意义与单位
$t$、$T_s$、$\tau$	时间、采样间隔、时间常数，单位 s
$n$、$k$	整数下标，须结合上下文分清采样编号与频点编号
$f$、$f_s$	普通频率、采样率，单位 Hz，即每秒次数
$\omega=2\pi f$	连续时间角频率，rad/s
$\Omega=2\pi f/f_s$	离散时间角频率，rad/sample
$j$	虚数单位，$j^2=-1$
$s=\sigma+j\omega$	复频率变量，量纲为每秒
$z=re^{j\Omega}$	Z 变换的无量纲复变量
$x(t)$、$x[n]$	一个信号随时间或编号变化的规则
$X(s)$、$X(z)$	整个信号的变换表达式
$H$、$h$	传递函数、冲激响应；量纲由输入与输出决定
$u(t)$、$u[n]$	单位阶跃
$\delta(t)$、$\delta[n]$	连续单位冲激、离散单位冲激，二者定义不同
$N$、$M$	实际数据点数、FFT 点数，补零时 $M\ge N$

单边拉普拉斯用于从启动时刻求解初值问题；双边拉普拉斯和双边 Z 变换用于讨论收敛域与频响。每章在切换约定时会明确写出。

4. 对原材料的关键修正

容易误读的写法	本套笔记采用的准确说法
$X(z)=\sum x[n]$	定义必须包含 $z^{-n}$；只求和会丢掉采样位置的信息
“当前输入变成 $X(z)$”	当前点始终是 $x[n]$；对整个序列变换，才得到 $X(z)$
“乘 $z^{-1}$ 就存储了数据”	乘法表示数学上的序列移位；真实实现需要寄存器或变量保存上一点
“导数变成 $sX(s)$”	单边变换一般是 $sX(s)-x(0^-)$，不能略掉初始项
“传递函数等于每时刻输出除输入”	传递函数描述零状态 LTI 系统；时域一般是卷积
“极点实部负就是稳定”	因果、适当有理连续系统的 BIBO 判据才可如此简写；内部稳定另检查隐藏状态
“周期方波有连续频谱”	理想周期方波有离散谐波谱线；有限截取会产生窗引起的泄漏
“一阶 RC 每倍频下降 20 dB”	高频渐近斜率为每十倍频约 -20 dB，每倍频约 -6.02 dB
“补零提高真实分辨能力”	补零增加计算频点；实际观测时间没有增加
“PSD 总是除以 FFT 点数”	归一化由实际窗能量与采样率决定，不能随补零改变

5. 与已有专题的连接

推导正文是入门主线，已有专题继续作为工程查询入口：

• 信号与测量量、相位。
• 采样、触发与多通道。
• 傅里叶、DFT 与 FFT 速查。
• 窗函数、单边谱与 PSD。
• Sinc/CIC、IQ 解调。
• 包络分析、倒谱、阶次与赫兹。

具体 ADC 的寄存器、延迟与数据率仍以具体型号和修订版手册为准。这里推导的是通用模型，不用一个通用 CIC 公式代替器件时序。

6. 如何检验自己真的理解了

学完对应章节后，合上笔记，独立完成以下问题，再与章节的展开过程对照。

1. 用 $R=1\,\mathrm{k\Omega}$、$C=1000\,\mathrm{\mu F}$、输入 2 V，推导 $y(t)=2(1-e^{-t})$，说出其中数值“1”代表的单位。
2. 不查变换表，从积分求出 $u(t)$ 的拉普拉斯变换；用分部积分推导导数规则。
3. 从 $[1,2,3]$ 写出 $X(z)$，再写延迟一拍的结果，说明为何 $X(2)=2.75$ 不能代表整串数据。
4. 手算两点平均器输出 $[0.5,1.5,2.5,1.5]$，再用多项式乘法得到同样结果。
5. 算出 $[1,0,-1,0]$ 的 4 点 DFT，并从结果恢复原序列。
6. 将 1 V 峰值正弦的 RMS 与 PSD 总积分联系起来；补零后说明哪些数改变、哪些不变。
7. 推导延迟 $\Delta t$ 导致的相位 $-\omega\Delta t$，区分传感器相位、通道不同步与数字滤波延迟。

7. 来源与复核

章节范围对照 MIT 信号与系统讲义，各章另给具体来源。本文用自己的解释、代数展开和手算例子组织内容，不直接转载课程讲义。

2026-10-02：将 2026-10-01 的骨干提纲扩充为完整六章；补齐用户学习过程中追问的 RC、初始状态、Z 移位和反变换过程，统一频率与频谱归一化约定。

2026-10-03：逐章全文复核，保留完整推导和专题入口；补明递推状态、终值条件、补零与密度估计、CIC 实现延迟的适用边界。