一阶电路：初始状态、时间常数与 RC／RL 响应

一阶电路的独立动态状态可用一个一阶微分方程描述。常见情形是电阻网络中只有一个独立电容电压或电感电流；多个储能元件也可能因连接约束约化为一个状态，不能只凭元件总数判断阶数。

以下采用理想线性元件和集总模型，换路时刻记为 $t_0$，令 $\Delta t=t-t_0\ge0$。三要素公式限于换路后参数不变、激励为常量且存在稳定终值的情形。

先分清稳态与换路瞬间

按关联参考方向，电流流入元件电压的正端：

$$i_C=C\frac{du_C}{dt},\qquad u_L=L\frac{di_L}{dt},\qquad W_C=\frac12Cu_C^2,\qquad W_L=\frac12Li_L^2.$$

这些微分关系决定了动态过程。若电容电流、电感电压在换路附近没有冲激，积分得到换路连续性：

$$u_C(t_0^+)=u_C(t_0^-),\qquad i_L(t_0^+)=i_L(t_0^-).$$

电容电流、电感电压，以及普通电阻上的电压电流则可以突变。强制把两个不同电压的理想电容无阻抗相连、或强制打断理想电感电流，可能引出冲激或不相容的理想模型；此时不能把无冲激前提省掉。

要分析的时刻	理想电容	理想电感
已建立的直流稳态	电压恒定，因此开路，电压可不为零	电流恒定，因此短路，电流可不为零
换路刚结束 $t_0^+$	用值为 $u_C(t_0^-)$ 的电压约束求其他量；零初始电压时，在这一瞬间表现为短路	用值为 $i_L(t_0^-)$ 的电流约束求其他量；零初始电流时，在这一瞬间表现为开路
换路后的动态过程	必须满足 $i_C=C\,du_C/dt$	必须满足 $u_L=L\,di_L/dt$

“零初值电容在换路瞬间像短路、零初值电感像开路”不能写成直流稳态规则。电路发生暂态的原因可以是开关改变，也可以是激励或参数改变；是否有可见暂态，还取决于改变前后的状态是否刚好匹配。

一阶方程与三要素

对一个一般的一阶线性模型：

$$a_1\frac{dx}{dt}+a_0x=b(t),\qquad a_1\ne0.$$

当 $b(t)=b_0$ 恒定、$a_0\ne0$，令 $\tau=a_1/a_0$、$x_\infty=b_0/a_0$，则：

$$x(t)=x_\infty+[x(t_0^+)-x_\infty]e^{-\Delta t/\tau}.$$

只有 $\tau>0$ 时，$x_\infty$ 才是渐近稳定的终值。$a_0=0$ 时可能是积分或斜坡响应；负时间常数则对应增长，不能一律说零输入响应会衰减。本文的无源 RC、RL 例题均满足稳定条件。

RC 与 RL 的时间常数

从储能元件的两端看出去，按换路后拓扑将独立源置零，保留受控源，求等效电阻 $R_{\mathrm{eq}}$。必要时使用测试源法。在相应一阶模型成立、参数为有限正值时：

$$\tau_{RC}=R_{\mathrm{eq}}C,\qquad \tau_{RL}=\frac{L}{R_{\mathrm{eq}}}.$$

RC 与 RL 中增大电阻对时间常数的影响相反，不能把所有电路都记成“电阻越大越慢”。这些关系分别来自 $RC\,du_C/dt+u_C=U_s$ 和 $L\,di_L/dt+Ri_L=U_s$；可对照 OpenStax RC 与 RL 章节。

三要素计算流程：先解换路前的状态；用连续性得到 $t_0^+$ 的储能变量；按换路后拓扑求稳态终值；求时间常数；最后代入公式。要计算其他支路量，再用换路后的 KCL、KVL 与元件关系推导，不能直接把电容电压初值套给电阻电压。

对于同一一阶线性网络，恒定激励下的电阻电压、电流等代数量往往也可写成“终值＋单指数”。其 $t_0^+$ 初值需要单独求；若指数项系数为零，该量可以始终保持常数。

需要多少个时间常数

当初始差值 $x(t_0^+)-x_\infty\ne0$ 时，响应与终值的剩余差值满足下式；若初始差值为零，响应始终等于终值，不需要计算这一比值。

$$\frac{x(t)-x_\infty}{x(t_0^+)-x_\infty}=e^{-\Delta t/\tau}.$$

经过时间	剩余差值占初始差值
$\tau$	36.79%
$3\tau$	4.98%
$5\tau$	0.674%

每经过一个时间常数，消除的是当时剩余差值的约 63.2%；并非每次都改变初始差值的 63.2%。工程上的“约 3～5 个时间常数后稳定”是误差约定，数学上通常不会在有限时刻恰好到达终值。

零输入衰减曲线在初始点的切线与零值线相交于 $\Delta t=\tau$；一般全响应的切线则与终值渐近线相交于该位置。

两种响应分解不要混用

分解方式	第一部分	第二部分
零输入＋零状态	独立激励置零，保留初始储能所得响应	初始储能置零，保留实际激励所得响应
自由＋强迫	齐次方程的自然模态 $K e^{-\Delta t/\tau}$	非齐次方程的一个特解，恒定激励下可取稳态值

两种分解都能得到全响应，但不能逐项对应。以 RC 恒压充电为例：

$$u_C(t)=\underbrace{U_0e^{-\Delta t/RC}}_{\text{零输入}} +\underbrace{U_s(1-e^{-\Delta t/RC})}_{\text{零状态}} =\underbrace{U_s}_{\text{强迫特解}} +\underbrace{(U_0-U_s)e^{-\Delta t/RC}}_{\text{自由项}}.$$

零状态响应中也有指数项；自由项的系数由初始状态和所选强迫特解共同决定，不能说它只由初始状态决定。电路极点决定自然变化速度，而激励与初值决定各项幅度。

RC 响应与能量

串联 RC 接恒压 $U_s$，电流取由电源流入电容正端，初始电压为 $U_0$：

$$RC\frac{du_C}{dt}+u_C=U_s,$$ $$u_C=U_s+(U_0-U_s)e^{-\Delta t/RC},\qquad i_C=\frac{U_s-U_0}{R}e^{-\Delta t/RC}.$$

零输入时 $U_s=0$，故 $u_C=U_0e^{-\Delta t/RC}$，$i_C=-U_0e^{-\Delta t/RC}/R$。负号来自关联参考方向；若把放电电流方向反过来定义，数值便为正。对应齐次方程是 $RC\,du_C/dt+u_C=0$，不能交换导数项与时间常数的位置。

零初值时 $U_0=0$，得到 $u_C=U_s(1-e^{-\Delta t/RC})$、$i_C=(U_s/R)e^{-\Delta t/RC}$，初始充电电流最大，随后逐渐减小。

图中电阻旁的电流注释应按 $i=(u_s-u_C)/R$ 理解，分母是电阻 R；动态方程仍须使用电容的 $C\,du_C/dt$。

若理想电容从零初始电压，经固定正电阻连接恒压源 $U_s$，充电到稳态：

$$W_{\mathrm{source}}=CU_s^2,\qquad W_C(\infty)=\frac12CU_s^2,\qquad W_R=\frac12CU_s^2.$$

这个 50% 结果依赖零初始电压、恒压源和上述串联模型。一般初值下电阻耗能为 $W_R=\tfrac12C(U_s-U_0)^2$，不能把“电容充电效率总是 50%”当成普遍结论。零输入放电到零时，最初的 $\tfrac12CU_0^2$ 在电阻上耗散。

RL 响应与能量

串联 RL 接恒压 $U_s$，电感电流初值为 $I_0$，采用关联参考方向：

$$L\frac{di_L}{dt}+Ri_L=U_s,\qquad \tau=\frac LR,$$ $$i_L=\frac{U_s}{R}+\left(I_0-\frac{U_s}{R}\right)e^{-\Delta t/\tau},\qquad u_L=(U_s-RI_0)e^{-\Delta t/\tau}.$$

零输入时 $i_L=I_0e^{-\Delta t/\tau}$，而 $u_L=-RI_0e^{-\Delta t/\tau}$，说明电感正在释放储能。零初值时电流从零升到 $U_s/R$，电感电压则从 $U_s$ 衰减到零。无源回路中的初始磁场能量 $\tfrac12LI_0^2$ 最终在电阻上耗散。

三个原图例题

RC 零输入：100 μF 电容放电

假设换路前已达直流稳态，开关在 $t=0$ 切换。电容开路时，$2\,\Omega$、$5\,\Omega$、$6\,\Omega$ 串联分压，因此：

$$u_C(0^-)=10\frac6{2+5+6}=\frac{60}{13}\,\mathrm V.$$

换路后，电容看到 $R_{\mathrm{eq}}=5\parallel6=30/11\,\Omega$，故：

$$\tau=\frac{30}{11}\times100\,\mu\mathrm F =\frac3{11000}\,\mathrm s\approx0.2727\,\mathrm{ms},$$ $$u_C(t)=\frac{60}{13}e^{-(11000/3)t}\,\mathrm V,\qquad i_{\mathrm{switch}}(t)=\frac{u_C(t)}5 =\frac{12}{13}e^{-(11000/3)t}\,\mathrm A.$$

开关电流按图中向下方向为正；指数中的 t 单位为秒。

RL 零状态：先求端口，再求电源功率

右图开关原先短接电感支路入口，稳态 $i_L(0^-)=0$，在 $t=0$ 打开。电感看到的开路电压为 $U_{\mathrm{th}}=10+2\times2=14\,\mathrm V$；独立源置零后，$R_{\mathrm{eq}}=2+3+5=10\,\Omega$。因此：

$$\tau=\frac{0.2}{10}=0.02\,\mathrm s,\qquad i_L(t)=1.4(1-e^{-50t})\,\mathrm A,\qquad u_L(t)=14e^{-50t}\,\mathrm V.$$

原记录把指数写成 $e^{-500t}$，并把电感电压幅值写成 1.4 V；两者均不满足本图的元件参数。这里可直接用 $u_L=L\,di_L/dt$ 检查幅值与指数是否一致。

10 V 电源流出正端的电流按图为 $i=i_L-2=-0.6-1.4e^{-50t}$，所以该电压源发出的功率为：

$$P_{10\mathrm V,\mathrm{delivered}}=10i=-6-14e^{-50t}\,\mathrm W.$$

负值表示它吸收功率，能量由另一电源提供；不能把负功率当成算错，也不能直接用电感电流代替电压源电流。原记录最后这条功率结果与修正后的电感响应一致。

RC 全响应：由正电压过渡到负电压

曲线可以跨过零，但始终指数趋近各自终值。时间常数切线的交点应落在终值水平线上，而非强行取时间轴。

换路前后均按各自直流稳态求分压，注意切换后电源上端为 $-3\,\mathrm V$：

$$u_C(0^+)=6\frac4{2+4}=4\,\mathrm V,\qquad u_C(\infty)=-3\frac4{2+4}=-2\,\mathrm V,$$ $$\tau=(2\parallel4)\times1\,\mathrm F=\frac43\,\mathrm s.$$

三要素给出：

$$u_C(t)=-2+6e^{-3t/4}\,\mathrm V,\qquad i(t)=\frac{-3-u_C(t)}2=-0.5-3e^{-3t/4}\,\mathrm A.$$

这里 i 仍按图中从左向右为正，换路后它为负。检查 $t=0^+$ 时 $u_C=4\,\mathrm V$，$t\to\infty$ 时 $u_C=-2\,\mathrm V$，并代回节点方程 $(u_C+3)/2+u_C/4+C\,du_C/dt=0$，可同时验证初值、终值与变化速度。

以上三个例题按原图拓扑重算，并以节点方程、微分方程和功率关系复核；它们是理想模型计算，不是元件容差、寄生参数或实物测量结果。