Python 复数：运算、相位与极坐标

Python 的内置 complex 表示复数，实部和虚部可分别通过 real、imag 读取。加、减、乘、除直接使用运算符；计算相位、极坐标或复数数学函数时，再导入 cmath。本文示例按 Python 3.11 编写。

创建复数并执行四则运算

虚数常量写成 3j 或 3J；2 + 3j 是实数与虚数相加的表达式，complex(2, 3) 得到相同的值。数字与后缀之间不能插入空格，也不能把 image j 当成 Python 语法。变量 j 本身没有预定义为虚数单位。

操作	含义	例子
complex(real, imag)	指定实部、虚部	complex(2, 3) 得到 2+3j
complex(real)	虚部默认为零	complex(4) 得到 4+0j
+、-	对应部分相加、相减	(2+3j) + 4
*、/	复数乘法、除法	(2+3j) / 4；不要求导入 cmath
.real、.imag	读取实部、虚部	内置 complex 返回 float
abs(z)	模，即到原点的距离	abs(3+4j) 为 5.0
z.conjugate()	共轭，虚部改变符号	(3+4j).conjugate() 为 3-4j

下面的程序定义了所有用到的变量，并使用 total 避免覆盖内置函数 sum：

z1 = complex(2, 3)
z2 = complex(4)
assert z1 == 2 + 3j == 2 + 3J
assert z2 == 4 + 0j

total = z1 + z2
difference = z1 - z2
product = z1 * z2
quotient = z1 / z2
assert total == 6 + 3j
assert difference == -2 + 3j
assert product == 8 + 12j
assert quotient == 0.5 + 0.75j

z = 3 + 4j
assert z.real == 3.0 and z.imag == 4.0
assert isinstance(z.real, float) and isinstance(z.imag, float)
assert abs(z) == 5.0
assert z.conjugate() == 3 - 4j
assert z * z.conjugate() == abs(z) ** 2
print(total, difference, product, quotient)

复数对象不可变。不能通过给 z.real 或 z.imag 赋值来修改它；需要重新构造，例如 complex(5, z.imag)。内置复数的两部分采用浮点表示，不能据此认为十进制小数或任意大整数都能精确保存。

相位与极坐标

cmath.phase(z) 返回弧度角，cmath.polar(z) 返回 (模, 相位)，cmath.rect(r, phi) 则从极坐标重建复数。相位不是角度制，显示为角度时可用 math.degrees。

import cmath
import math

z = 3 + 4j
phase = cmath.phase(z)
radius, angle = cmath.polar(z)
restored = cmath.rect(radius, angle)
assert math.isclose(radius, 5.0)
assert math.isclose(phase, math.atan2(4, 3))
assert math.isclose(math.degrees(angle), 53.13010235415598)
assert cmath.isclose(restored, z, rel_tol=1e-12, abs_tol=1e-12)
assert cmath.sqrt(-1) == 1j

# 负实轴两侧的有符号零影响相位的分支选择。
above = complex(-1.0, 0.0)
below = complex(-1.0, -0.0)
assert cmath.phase(above) == math.pi
assert cmath.phase(below) == -math.pi
assert above == below
print(radius, angle, restored)

重建结果可能有浮点舍入误差，宜按问题要求使用 cmath.isclose 的容差。零复数没有唯一的数学方向；即使接口返回了某个数值，也不能把它当成测得的方向。负实轴上的正负零例子说明，相等的复数值仍可能保留影响分支选择的浮点符号信息。cmath 的极坐标与分支约定

能比较相等，不提供大小排序

2+0j == 2 为真，但 Python 没有为复数定义 <、> 这样的自然大小顺序。若业务需要排序，应明确选择按模、实部或其他规则排序。// 和 % 也不适用于内置复数。

def raises(expected, operation):
    try:
        operation()
    except expected:
        return
    raise AssertionError(f"expected {expected.__name__}")

assert complex("2+3j") == 2 + 3j
assert complex("  (2+3j)  ") == 2 + 3j
raises(ValueError, lambda: complex("2 + 3j"))
raises(ZeroDivisionError, lambda: (2 + 3j) / 0j)
raises(TypeError, lambda: (1 + 2j) < (2 + 1j))
raises(TypeError, lambda: (1 + 2j) // 2)
raises(TypeError, lambda: (1 + 2j) % 2)
raises(AttributeError, lambda: setattr(1 + 2j, "real", 4))

assert 2 + 0j == 2
assert sorted([3 + 4j, 1j, 2 + 0j], key=abs) == [1j, 2 + 0j, 3 + 4j]
assert not bool(0j) and bool(1j)
print("complex boundary checks passed")

complex() 接受字符串时有自己的格式要求，不能先假定它会忽略字符串内部所有空格。四则运算与构造的完整规则见 Python 数值类型和 complex 内置函数。