传递函数：建模、初始状态与稳定性

传递函数把线性时不变系统的输入—输出关系写成复频域的代数式。它适合从电路、机械运动方程或实验数据出发，分析响应并设计反馈；使用前必须明确输入、输出、工作点和初始条件。

定义与零初始条件

连续时间单输入单输出 LTI 系统在零初始状态下满足

$$Y(s)=G(s)U(s),\qquad G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}.$$

$u$、$y$ 是选定的输入和输出，$s=\sigma+j\omega$ 是拉普拉斯变量。这里的比值是模型关系，不要求对某个恰好为零的输入变换进行数值除法。

“零初始状态”指建模状态的初值为零。若模型描述工作点附近的小扰动，指的是相对工作点的状态偏差为零，不要求带偏置的电路电容电压、设备温度等物理量都为零。非零初值产生的自由响应需要单独叠加。

例如

$$\dot y+ay=bu$$

在 $y(0^-)=0$ 时给出 $G(s)=b/(s+a)$；保留初值时则为

$$Y(s)=\frac{b}{s+a}U(s)+\frac{y(0^-)}{s+a}.$$

输入—输出模型没有改变，第二项是该初始条件下的附加响应。

从物理方程得到模型

RC 低通：输出取电容电压

忽略后级负载且元件线性时，由电流关系得到

$$RC\dot y+y=u,\qquad G(s)=\frac{1}{RCs+1}=\frac{1}{\tau s+1}.$$

其直流增益为 1，极点为 $-1/\tau$，时间常数 $\tau=RC>0$。零状态下施加单位阶跃，

$$y(t)=1-e^{-t/\tau},\qquad t\geq0.$$

由 $Y(s)=G(s)U(s)$ 做逆拉普拉斯变换，还可计算脉冲、阶跃和斜坡等响应，并在存在适当稳态值时求超调量、调节时间等指标；这些指标的定义和输入类型应明确。

经过一个时间常数达到最终值的约 63.2%。幅值降至直流值的 $1/\sqrt2$ 时，角频率为 $\omega_c=1/\tau$，普通频率为 $f_c=1/(2\pi\tau)$；两者单位不能混用。

质量—弹簧—阻尼：输入力、输出位移

采用线性弹簧与黏性阻尼，并把位移原点取在静态平衡位置：

$$m\ddot y+c\dot y+ky=F(t),\qquad \frac{Y(s)}{F(s)}=\frac{1}{ms^2+cs+k}.$$

这个传递函数的量纲是 m/N，直流增益为 $1/k$，不能与无量纲、直流增益为 1 的标准二阶低通直接混为一谈。$m>0,c>0,k>0$ 时该模型的极点实部为负。

相同的建模步骤也适用于热、流体、电路等系统，但每个模型的线性范围、边界条件和单位都需要重新确认。实验辨识可以通过阶跃、扫频或宽带激励拟合模型；拟合结果应在独立数据、目标频段和工作点上验证。

多项式、零点与极点

有限维、无纯延迟的常见模型可写为

$$G(s)=\frac{b_m s^m+\cdots+b_0}{a_n s^n+\cdots+a_0} =K\frac{\prod_i(s-z_i)}{\prod_j(s-p_j)}.$$

应先检查分子、分母是否有公因子。下文的输入—输出极点指约分后传递函数的极点。

概念	含义	需要避免的推断
零点 $z_i$	使传递函数为零的位置，且该点不是未处理的公共因子	零点不等于“增强某一频率”；位于 $j\omega_0$ 的零点可造成该频率的陷波
极点 $p_j$	传递函数的奇点，与可见动态模态有关	分母约分后看不到的内部模态仍可能影响内部稳定性
真有理，$m\leq n$	高频增益有限，可具有直接通道	不表示所有真实对象都能用有限阶有理式精确描述
严格真有理，$m<n$	高频增益趋近于零	低频静态增益仍需单独计算

例如纯延迟 $e^{-sT_d}$ 不是有限阶有理式；可以直接保留延迟，也可以在明确频段内近似。理想微分器 $s$ 则是非真有理模型，实际实现通常需要高频滚降。

极点稳定性与隐藏状态

对因果、有限维、真有理的连续时间 LTI 输入—输出系统，全部极点严格位于左半平面是 BIBO 稳定的条件，即有界输入产生有界输出。虚轴极点不满足这一严格条件，不能因为“实部没有大于零”就宣布 BIBO 稳定。

例如 $1/(s^2+3s+2)$ 的极点是 $-1,-2$；$1/(s-1)$ 则有右半平面极点。劳斯判据可以检查多项式的根分布，奈奎斯特判据可以结合开环信息分析反馈闭环。

输入—输出稳定不自动保证所有内部状态稳定。考虑

$$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix},\quad D=0.$$

该通道的 $G(s)=1/(s+1)$ 稳定，但未被此输入激励、也未被此输出观测的状态满足 $\dot x_1=x_1$，非零初值会指数增长。实际反馈设计还要检查内部稳定性，并避免把不稳定极零相消当作可靠实现。

频率响应与二阶截止频率

对于稳定系统，稳态正弦响应可由 $G(j\omega)$ 的幅值和相位求得：输入 $A\sin\omega t$ 时，瞬态衰减后输出幅值为 $A\lvert G(j\omega)\rvert$，相位相对输入移动 $\arg G(j\omega)$。代入 $s=j\omega$ 本身不能证明系统稳定；不稳定系统通常没有可等待到的这种有界稳态。

对直流增益为 1 的标准二阶低通

$$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2},\qquad \zeta>0,$$

令 $r=\omega/\omega_n$，有

$$\lvert G(j\omega)\rvert^2=\frac{1}{(1-r^2)^2+4\zeta^2r^2}.$$

以直流增益为基准，半功率点（约 $-3.0103$ dB）满足

$$\frac{\omega_{-3\mathrm{dB}}}{\omega_n} =\sqrt{1-2\zeta^2+\sqrt{(2\zeta^2-1)^2+1}}.$$

阻尼比 $\zeta$	$\omega_{-3\mathrm{dB}}/\omega_n$
$0.5$	约 1.2720
$1/\sqrt2$	1
$1$	约 0.6436

因此自然频率 $\omega_n$ 不普遍等于截止频率，阻尼比也参与决定。低阻尼时还可能出现共振峰；用于控制的闭环带宽应从对应的闭环传递函数计算。

反馈连接要写清信号方向

令对象为 $P(s)$，控制器为 $C(s)$，反馈测量环节为 $H(s)$，误差定义为 $e=r-Hy$。忽略扰动时

$$y=PC(r-Hy),\qquad T(s)=\frac{Y}{R}=\frac{PC}{1+PCH},\qquad L(s)=PCH.$$

$L$ 是这个负反馈连接的环路传递函数。增益、相位裕度通常针对 $L$；跟踪响应针对 $T$；测量噪声、负载扰动等则各有不同的输入—输出传递函数。不能把所有通道都叫作同一个“系统增益”。上述连接还需适定，例如直接通道不能形成无法求解的代数环。

常见一阶校正形式为 $C_c(s)=K_c(s+z)/(s+p)$，其中 $K_c>0$、$z,p>0$：$z<p$ 时提供正相位的超前作用，$z>p$ 时提供滞后作用，$z=p$ 时退化为常数增益。它们同时改变幅值，不能只看相位而忽略交越频率的变化。

PID、超前或滞后校正可以改变环路特性，但设计必须同时考虑执行器限幅、时延、采样、传感器噪声和模型误差。极点配置或一张频响图本身不能代替这些实现检查。

与状态空间、MIMO 和离散模型的关系

线性状态空间模型

$$\dot x=Ax+Bu,\qquad y=Cx+Du$$

对应

$$G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D,$$

非零初值时

$$Y(s)=G(s)U(s)+C(sI-A)^{-1}x(0^-).$$

多输入多输出时 $G$ 是矩阵，第 $i,j$ 项表示其他输入为零时第 $j$ 个输入到第 $i$ 个输出的通道；不同通道的零极点、耦合和可见模态可能不同。更一般的非线性、时变状态方程可以描述更广泛的系统，但不能直接套用上面的常矩阵 LTI 公式，通常要在工作点线性化或使用相应分析方法。

离散时间 LTI 系统可用零初始状态下的 $G(z)=Y(z)/U(z)$ 表示。因果有理离散模型的 BIBO 稳定极点应严格位于单位圆内；频率响应在 $z=e^{j\Omega}$ 上取值，$\Omega=\omega T_s$ 的单位是 rad/sample。连续与离散模型转换时应记录采样周期和离散化方法。

继续阅读：伯德图与奈奎斯特图，以及 转子支承模型。

资料与修订说明

本页完整整理了原始笔记的定义、物理建模、响应预测、反馈、状态空间和离散系统内容，合并重复的应用列表，并补充了初始状态、隐藏模态和二阶截止频率的条件。示例是模型计算，不代表某台设备的辨识或控制性能。

• 密歇根大学 CTMS：系统建模：传递函数与状态空间的关系。
• CTMS：系统分析：极点、时域响应及频域分析入口。
• MathWorks：isstable：连续与离散线性模型的严格稳定边界。