电路定理：叠加、替代与端口等效

电路定理帮助把已知网络换成更容易计算的形式，但必须先明确保留哪些量。本页讨论直流电阻网络：叠加依赖线性，替代只保持指定工作点，戴维南和诺顿保持所选端口的伏安关系。连接与列方程的基础见电路分析。

叠加定理

在线性网络中，某一支路电压或电流等于各独立源分别作用时该量的代数和。对每次计算：

1. 保留一个独立源，把其余独立电压源置零为短路、独立电流源置零为开路。
2. 保留所有电阻和受控源，以及受控源的控制关系。
3. 按同一支路参考方向求出分量，再代数相加。

图中各小图电流箭头未必相同；先统一参考方向，再确定加减号。源置零时只替换理想源，模型中的串联或并联电阻仍然保留。Cornell 讲义第 9 页特别说明，叠加和求等效电阻时均不能关闭受控源。

功率不能按各源单独作用的功率相加。 例如电阻上 $i=i_1+i_2$，则 $Ri^2=Ri_1^2+2Ri_1i_2+Ri_2^2$，中间项不会自动消失。应先叠加电压或电流，再求功率。

含储能元件的线性动态网络也可叠加，但初始储能是另一个响应来源；不能既保留非零初始状态，又只把独立源的响应相加。见一阶电路的响应分解。

替代定理：保持一个工作点

已知某支路在指定工况下电压为 $U_0$、电流为 $I_0$，可用方向一致的理想电压源 $U_0$ 或理想电流源 $I_0$ 替代该支路。若替代后约束相容且工作点唯一，其余电路仍保持原工作点。这不要求原支路一定线性。

替代与端口等效不同：负载或激励变化后，原支路的工作点可能变化，固定的替代源不再代表原支路的完整伏安特性。若被替代部分的内部量控制外部受控源，必须额外保留对应关系，不能删除控制量后仍宣称外部电路不变。

戴维南等效

把待求负载划在外部，其余部分作为一端口。统一规定 $u=V_a-V_b$，输出电流 $i$ 从一端口的 a 端流向负载。对于具有有限戴维南参数的线性一端口：

$$u=U_{\mathrm{oc}}-R_{\mathrm{th}}i.$$

也就是开路电压 $U_{\mathrm{oc}}$ 的理想电压源，串联电阻 $R_{\mathrm{th}}$。负载可以非线性；只要作为内部网络的一端口模型仍满足上述关系，其等效参数就不随负载改变。

图中端口电流 $i$ 指向一端口内部，故其公式使用 $u=U_{\mathrm{oc}}+R_{\mathrm{th}}i$；本文输出电流定义相反，所以采用减号。两种定义都可以，不能跨图混用。

求解步骤：

1. 移开负载，求端口开路电压 $U_{\mathrm{oc}}$。
2. 将内部独立源置零，受控源保留，求输入电阻 $R_{\mathrm{th}}$。
3. 接回负载，用等效电路求端口电压电流；只需外部负载量时，不必还原所有内部支路。

等效电阻的三种求法

方法	使用条件
独立源置零后化简电阻	没有受控源且网络可以用串并联或 Δ–Y 整理时最直接
测试源法	独立源置零，保留受控源；外加端口电压 $U_t$，求流入正端的电流 $I_t$，则 $R_{\mathrm{th}}=U_t/I_t$；也可加流求压
开路电压除短路电流	在原源保持作用下求 $U_{\mathrm{oc}}$ 与 $I_{\mathrm{sc}}$；只有两者存在、有限且 $I_{\mathrm{sc}}\ne0$ 时，才可用 $R_{\mathrm{th}}=U_{\mathrm{oc}}/I_{\mathrm{sc}}$

本文的 $I_{\mathrm{sc}}$ 取从 a 端经外部短路线流向 b 端为正。若只有受控源，开路电压和短路电流可能同时为零，$0/0$ 无法求电阻，应使用测试源。独立源置零后仍可能存在有源受控网络，输入电阻甚至可能为负，不能一律称它为“无源网络”。

等效边界还必须包含所需的控制关系：内部受控源依赖外部某个独立支路量，或外部受控源依赖被隐藏的内部量时，通常不能只用一个普通二端模型代替。控制量若就是端口电压或电流，可显式保留其端口关系；更一般的情形需保留额外变量或使用多端口模型。

原图例题：8 Ω 负载电流

按图示极性和电流方向，移开 $8\,\Omega$ 负载后：

$$U_{\mathrm{oc}} =30\frac{3}{3+6}-4(3\parallel6) =10-8=2\,\mathrm V.$$

原图中两项之间印成加号，却继续算成 $10-8$；这里应为减号。独立源置零后 $R_{\mathrm{th}}=3\parallel6=2\,\Omega$。接回负载：

$$I_L=\frac{2}{2+8}=0.2\,\mathrm A.$$

与理想电流源串联的 $20\,\Omega$、与理想电压源并联的 $10\,\Omega$ 影响内部量，但不改变这里所求的端口等效。上述符号与数值可由原电路节点方程独立验证。

诺顿等效及退化情况

在有限非零 $R_{\mathrm{th}}$ 的情况下，同一端口关系可改写为：

$$i=I_{\mathrm{sc}}-\frac{u}{R_{\mathrm{th}}},\qquad I_{\mathrm{sc}}=\frac{U_{\mathrm{oc}}}{R_{\mathrm{th}}}.$$

诺顿模型是电流源 $I_{\mathrm{sc}}$ 与 $R_{\mathrm{th}}$ 并联，内部电流源箭头从 b 指向 a。外部短路电流则由 a 经短路线流向 b，两者在网络各自支路上方向不同，但数值按上述定义相同。

原图子图 c 把短路电流箭头画成由下向上；若按该箭头算代数值，应先取反再用于本文的 $I_{\mathrm{sc}}$。戴维南、诺顿模型保证外部伏安关系一致，内部耗散不必一致。Alberta 的电路定理实验将两种模型接相同负载进行对照。

理想电压源可看作 $R_{\mathrm{th}}=0$ 的戴维南极限，但通常不存在有限参数的诺顿形式；单独理想电流源则没有有限参数的戴维南形式。不能宣称任何线性网络必然同时拥有两种有限参数模型。

最大功率传输

固定一端口的 $U_{\mathrm{oc}}$ 与正电阻 $R_{\mathrm{th}}>0$，仅让无源负载电阻 $R_L\ge0$ 变化：

$$P_L=\frac{U_{\mathrm{oc}}^2R_L}{(R_{\mathrm{th}}+R_L)^2},\qquad \frac{dP_L}{dR_L} =\frac{U_{\mathrm{oc}}^2(R_{\mathrm{th}}-R_L)}{(R_{\mathrm{th}}+R_L)^3}.$$

当 $U_{\mathrm{oc}}\ne0$ 时，最大值出现在：

$$R_L=R_{\mathrm{th}},\qquad P_{L,\max}=\frac{U_{\mathrm{oc}}^2}{4R_{\mathrm{th}}}.$$

若 $U_{\mathrm{oc}}=0$，所有允许的负载功率均为零，没有唯一最大点。负等效电阻不满足上述前提，不能直接套匹配结论。

若负载固定而改变源侧电阻，且同时保持开路电压不变，则减小源侧电阻会提高负载功率；这是另一种优化问题。即使满足最大功率条件，也不等于效率最大：只有实际电路确实由理想电压源和一个串联损耗电阻组成时，匹配点的这两只电阻才各耗一半功率。一般网络的戴维南电阻耗散不代表原网络全部内部耗散，不能据此断言整机效率必为 50%。