刚性转子双支承模型：平动与摆动

知识概念更新于 2026-10-03编辑本文

原笔记试图用两个方程描述平衡机的平动和转动。第二个自由度应解释为转子绕横向轴的小角度摆动，并非绕自身轴线的扭转；弹性恢复力也必须随动态位移变化。

下面建立一个可推导、可检查的简化模型。它用于理解支承响应与不平衡的关系，不是特定平衡机的完整辨识模型。

1. 坐标与假设

取轴向为 $z$ ，名义平衡转子总质量为 $M$ 。在名义质心所在的轴向截面，转轴中心线参考点 O 的横向位移为 $y$ ，绕横向轴的小摆角为 $\theta$ 。左右支承位于 $z=-l$ 、 $z=+l$ ；每个支承在所分析方向上的刚度为 $k$ 、黏性阻尼为 $c$ 。

规定 $\theta>0$ 时右端位移增加，则支承处动态位移为：

y_L=y-l\theta,\qquad y_R=y+l\theta.

模型假设转子在所考察范围内不发生显著弯曲，两侧支承相同，位移与摆角小，围绕静平衡位置线性化，转速恒定，并忽略另一横向平面和陀螺耦合。小不平衡用同步力及力矩等效，不计其对名义质量和惯量的高阶影响； $J_T$ 取名义平衡转子绕横向摆动轴的惯量，单位 kg·m²。

对称双支承转子的平动、横向摆动和两端位移关系

两支承弹簧力合起来对平动产生 $-2ky$ ，对摆动产生 $-2kl^2\theta$ ；阻尼项同理。若在轴向位置 $z_u$ 有一个不平衡量 $U=m_u r_u$ ，其在该方向的恒速激励为 $U\omega^2\cos(\omega t+\phi)$ 。

因此：

M\ddot y+2c\dot y+2ky =U\omega^2\cos(\omega t+\phi),

J_T\ddot\theta+2cl^2\dot\theta+2kl^2\theta =z_uU\omega^2\cos(\omega t+\phi).

所有量在这两个方程中采用 SI 单位。第一式每项单位是 N，第二式每项单位是 N·m。若忽略阻尼，可令 $c=0$ ，但这会使理想共振点的稳态解失去有限值。

这里的 $y$ 不能直接叫作实际偏心质心的位移。单平动示例中，实际质心近似满足 $y_G=y+(U/M)\cos(\omega t+\phi)$ ；从 $M\ddot y_G=-2c\dot y-2ky$ 移项，才得到包含等效不平衡激励的第一式。

这也修正了原稿中的三处问题：加速度应为二阶时间导数；弹簧恢复力应包含动态 $y$ 而不是一个固定 $y_0$ ；不平衡激励包含 $\omega^2\cos(\omega t+\phi)$ ，并非随时间线性增大的力。

对于多个不平衡量，把各自的激励力和相对于参考截面的力矩分别相加。在对称情况下，平动与摆动方程解耦；支承位置或刚度不同后，一般会出现耦合项。

若第 $i$ 个支承位于 $z_i$ 、刚度为 $k_i$ ，仍用 $y_i=y+z_i\theta$ ，则刚度矩阵为：

\mathbf K= \begin{bmatrix} \sum k_i & \sum k_i z_i\\ \sum k_i z_i & \sum k_i z_i^2 \end{bmatrix}.

阻尼矩阵把 $k_i$ 换为 $c_i$ 。以名义平衡转子的质心截面为坐标原点时，质量矩阵可写为 $\operatorname{diag}(M,J_T)$ 。上一节的对称条件使 $\sum k_i z_i=0$ 、 $\sum c_i z_i=0$ 同时成立，两个方程才相互独立。

用复数稳态解表示，在一个集中不平衡量作用下：

Y=\frac{U\omega^2e^{j\phi}}{2k-M\omega^2+j2c\omega},\qquad \Theta=\frac{z_uU\omega^2e^{j\phi}}{2kl^2-J_T\omega^2+j2cl^2\omega}.

位移幅值同时受分子激励和分母动力学影响。以平动为例，令 $\omega_n=\sqrt{2k/M}$ 、 $r=\omega/\omega_n$ 、 $\zeta=2c/(2M\omega_n)$ ，则：

\frac{|Y|}{U/M}=\frac{r^2}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.

低速时可近似呈平方增长；共振附近被放大；该理想模型的高频位移比趋近 1。因而不能看到某次升速的幅值变化，就直接按平方比例反推不平衡。

由正文解析式计算的归一化位移响应，不同阻尼在共振附近产生不同放大

理论模型可解释支承刚度、测点、共振和相位为何影响平衡响应。实际机器的刚度、阻尼和耦合通常不能完全由尺寸估算，所以现场常通过试重辨识影响系数，并在一致工况下复测。

本模型不包含扭转、轴弯曲、多平面陀螺耦合、轴承交叉刚度、基础运动或接触非线性。若这些效应明显，应扩展模型并核对实验数据。

补充课程：NPTEL 单自由度转子模型与机械振动视频课程，可用于复习牛顿方程、阻尼受迫振动与转子不平衡；本页的对称双支承推导按上述明确假设独立写出。