拍频：相近频率的叠加

两个等幅、相位相同的正弦叠加：

$$x(t)=A\cos(2\pi f_1t)+A\cos(2\pi f_2t)$$

利用和差化积：

$$x(t)=2A\cos\!\left(2\pi\frac{f_1-f_2}{2}t\right) \cos\!\left(2\pi\frac{f_1+f_2}{2}t\right)$$

第二项是在平均频率附近的快速振荡，第一项形成慢包络。包络绝对值的重复频率，也就是通常听到或看到的拍频，为：

$$f_{beat}=|f_1-f_2|$$

例如 $f_1=100\ \text{Hz}$、$f_2=103\ \text{Hz}$，快速振荡约为 $101.5\ \text{Hz}$，幅值每秒增强三次。

flowchart LR
  A["100 Hz"] --> S["线性叠加"]
  B["103 Hz"] --> S
  S --> C["约 101.5 Hz 的快速振荡"]
  S --> D["3 Hz 的幅值起伏"]

如何识别

观察域	现象
时域	快速波形被慢包络调制
频域	两条相近谱线，而不是一条 3 Hz 主谱线
包络谱	在理想条件下出现 $	f_1-f_2	$

易错点

• DFT 记录过短时，两条谱线可能无法分开，看起来像一个展宽峰。
• 幅值不等时，包络谷值不一定降到零。
• 随机幅值起伏、机械冲击或调幅也会产生类似外观，不能只凭时域图判定拍频。
• 非线性系统还会生成 $f_1\pm f_2$ 等互调分量；这与线性叠加本身不同。