将 z 轴旋转到向量负方向：推导与退化情况

先明确变换含义

给定非零向量 $v$，希望一个主动旋转矩阵 R 使原 z 轴 $a=(0,0,1)^T$ 指向 $b=-v/\|v\|$，即 $Ra=b$。本文保持世界参考系不变，旋转三根基向量；R 的三列就是旋转后的 x、y、z 轴。若要把世界中的坐标改写到旋转后的坐标系，使用的是 $R^T$。

只给定 z 轴方向不能唯一决定完整姿态，还可以绕新 z 轴任意旋转。这里额外选择转角最小的解；恰好反向时最小转角为 π，旋转轴仍不唯一。

一般情况的推导

对单位向量 a、b：

$$c=a\cdot b=\cos\theta,\quad w=a\times b,\quad s=\|w\|=\sin\theta.$$

当 $s>0$，单位旋转轴 $k=w/s$，转角取 $\theta=\operatorname{atan2}(s,c)$。令 K 为叉乘矩阵，满足 $Kx=k\times x$，则 Rodrigues 公式为：

$$R=I+sK+(1-c)K^2.$$

原代码使用与此等价的 $[w]_\times$ 形式，却除以 $s^2$，未处理平行向量，因而同向、反向时都会出现除零。

NumPy 实现

import numpy as np

def align_z_to_negative(vector):
    v = np.asarray(vector, dtype=float)
    if v.shape != (3,) or not np.all(np.isfinite(v)):
        raise ValueError("vector must contain three finite numbers")
    scale = np.max(np.abs(v))
    if scale == 0:
        raise ValueError("zero vector has no direction")

    # 先缩放，避免对极大或极小输入直接求模时溢出/下溢。
    v = v / scale
    b = -v / np.linalg.norm(v)
    a = np.array([0.0, 0.0, 1.0])
    w = np.cross(a, b)
    s = np.linalg.norm(w)
    c = np.clip(np.dot(a, b), -1.0, 1.0)
    if s < 1e-12:
        if c > 0:
            return np.eye(3)
        # 反向时任选与 z 垂直的轴；这里绕 x 轴旋转 pi。
        return np.diag([1.0, -1.0, -1.0])

    k = w / s
    K = np.array([[0.0, -k[2], k[1]],
                  [k[2], 0.0, -k[0]],
                  [-k[1], k[0], 0.0]])
    return np.eye(3) + s * K + (1.0 - c) * (K @ K)

1e-12 是本例处理浮点近平行情况的容差，不是所有应用的统一要求。验证时检查 $R^TR\approx I$、$\det R\approx1$、$Ra\approx b$。

四元数与欧拉角

若安装 SciPy，可由矩阵转换：

from scipy.spatial.transform import Rotation

R = align_z_to_negative([1, 1, 1])
rotation = Rotation.from_matrix(R)
q_xyzw = rotation.as_quat()
angles_xyz = rotation.as_euler("xyz", degrees=True)

as_quat() 默认返回标量在后的 (x,y,z,w)，不应直接当作 (w,x,y,z) 传给别的库。小写 xyz 表示外禀旋转序列；欧拉角有奇异性，万向节锁时不能唯一分解三个角，但旋转矩阵仍可有效。四元数、欧拉角

原始记录

本笔记由 CSDN 原始记录 的文字与图片重新整理；正文中的代码、适用条件与说明已按本次审读补充。